1 2 + α − 2.5 × ( × l ) − 10 × ( × l ) l l = 100α − 22.5α = 77.5α
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代入典型方程， 代入典型方程，可得
X1 = −
A
77.5EIα/l B 77.5EIα/l 77.5EIα/l C 77.5EIα/l D
3iθ/3 A B 3iθ/3
M
AB
= 3i θ
3iθ
M图 图
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2）若θ = 0，并令∆AB = a，则原体系如图 ） 所示， ， ，则原体系如图7-26a所示，相应的 所示 M图如图 图如图7-26b所示。A点的 M AB = 3EI × ∆AB ，若再引入符 所示。 点的 图如图 所示 l l 号 EI B ∆ AB A β= 弦转角β 弦转角β ∆AB l 称为杆AB的弦转角， 称为杆 的弦转角，则
l3 X 1 − θ l = −a 3EI
l a X1 + = θ 3EI l
第三种解法
4l a X 1 − 2(θ − ) = 0 3EI l
一般来说， 一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数 都出现在力法典型方程的右边项中， 都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座 位移参数都出现在左边的自由项中。 位移参数都出现在左边的自由项中。
M AB ∆ AB = 3i = 3iβ l
l
(6)上述计算结果表明：在支 上述计算结果表明： 上述计算结果表明 座位移时， 座位移时，超静定结构将产生 内力和反力， 内力和反力，其内力和反力与 各杆件刚度的绝对值成正比 绝对值成正比。 各杆件刚度的绝对值成正比。
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第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。 第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。 当取有移动的支座约束力为基本未知力时， 当取有移动的支座约束力为基本未知力时，∆i≠0，而是 ， ∆i=Ci 第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。 第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。 内力的叠加公式不完全相同 由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时 由于基本结构（是静定结构）上支座移动、 均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。 均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最 后弯矩叠加公式为
θ
A C B a l/2 l
θ
l/2
(1)第一种解法 : 第一种解法
取支座B的竖向反力为多余未知力 取支座 的竖向反力为多余未知力X1，其 的竖向反力为多余未知力 力法方程为
θ
θ
δ 11 X 1 + ∆1c = −a
θ
X1
a
基本体系之一
其中
θ
∆1c
∆1c = −∑ FR c = −(l × θ ) = −θ l
δ 11
∆1t
77.5 EIα =− l
(
Hale Waihona Puke )如图所示。 最后弯矩图 M = M 1 X 1 ，如图所示。
M图 图
由计算结果可知，在温度变化时， 由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比 因此， 刚度的绝对值成正比。 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁， 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言， 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压）。 温一侧受压）。
δ 11 X 1 + ∆1t = 0
A +15℃ ℃ -15℃ ℃ B A l +15℃ ℃ -15℃ ℃ B
-10℃ +15℃ ℃ ℃ +15℃ ℃ +5℃ ℃ l
-10℃ +15℃ ℃ ℃ X1 +15℃ ℃ +5℃ ℃
C l
D
C X1
D
基本体系
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7.5
用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力
对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下， 对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可 发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构， 发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在 多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力， 多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称 自内力。 为自内力。
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(5)特例 特例 1）若a = 0，则原体系如图示，相应的 图如图所示。 ） 图如图所示。 ，则原体系如图示，相应的M图如图所示 A 点的 M AB = 3EI θ ,若引入符号 若引入符号
l
θ
A
EI i= l
θ
EI l
B
称为杆件的线刚度则 称为杆件的线刚度则 线刚度
n
ij
X j + ∆ic = C i
δij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移 表示原结构在
∆ic，表示基本结构在支座移动作用下在 i方向的位移 表示基本结构在支座移动作用下在X
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为常数， 【例7-9】图示单跨超静定梁 ，已知 为常数，左端支座转动角度为θ ， 】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数 右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。 右端支座下沉位移为 ，试求在梁中引起的自内力。 此梁为一次超静定， 此梁为一次超静定，以下分别采用 三种基本体系求解 。
用力法计算自内力时， 用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载 作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 第一，力法方程中的自由项不同。 第一，力法方程中的自由项不同。 这里的自由项， 这里的自由项，不再是荷载引起的∆iP，而是由支座移 动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上 的位移∆ic或∆it等。
∆it = ∑ αt 0 AFN = ∑ FNαt 0 l
代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由 代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变） 项计算公式
∆iZ = ∑ FN ∆l
可看出， 可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起 的结构的自内力有很大的影响。 的结构的自内力有很大的影响。
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M = ∑ M i xi
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7.5.1 支座移动时的内力计算
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时， 计算支座移动引起 次超静定结构的内力时，力法方程 次超静定结构的内力时 中第 i个方程的一般形式可写为 个方程的一般形式可写为
∑δ
j =1
2
M1 图
X1
1
FRB =
由此可得
X1 =
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2 l
3 EI a (θ − ) 2l l
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a 3EI (θ − ) l l
M图 图
以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程： 以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程： 第一种解法 第二种解法
θ
X1
a
M = M1 X1
基本体系之一
θ θ ∆1c
3EI a (θ − ) l l
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M图 图
X1
FRA = 1
l
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M1 图
X1=1
(2)第二种解法 第二种解法
X1
取支座A的反力偶作为多余未知力 取支座 的反力偶作为多余未知力X1， 的反力偶作为多余未知力 其力法方程为
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例7-10】试作图示刚架在温度改变时所产生的 图。各杆 】试作图示刚架在温度改变时所产生的M图 截面为矩形，高度h=l/10，线膨胀系数为 。设EI=常数 截面为矩形，高度 ，线膨胀系数为a。 常数 此结构为一次超静定刚架， 解 :此结构为一次超静定刚架，取基本体系 此结构为一次超静定刚架 如图所示。 如图所示。力法方程为
δ 11 =
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1 l M 12 dx = EI ∫ 3EI
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3
FRA = 1
l
M1 图
X1=1
θ
得 由此求得
l X 1 − θ l = −a 3 EI
3
A
θ
l/2 l
C
B a l/2
X1 =
3EI a (θ − ) l l2
θ
弯矩叠加公式为： 弯矩叠加公式为：
θ
基本体系之二
a
δ 11 X 1 + ∆1c = θ
其中
1 a ∆1c = −∑ FR c = −( × a) = l l l δ 11 =
3EI
X1=1
∆1c
a
力法方程
l a X1 + = θ 3EI l 3EI a (θ − ) X1 = l l
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1 X1
M 1图
FRB =
1 l
与第一种解法所作M图完全相同。 与第一种解法所作 图完全相同。 图完全相同