第一章向量与坐标&1.1向量的概念&1.2向量的加法&1.3数量乘向量&1.4向量的线性关系与向量的分解&1.5标架与坐标&1.6向量在轴上的射影&1.7两向量的数量积&1.8两向量的向量积&1.9三向量的混合积&1.10三向量的双重向量积第一章向量与坐标&1.1向量的概念定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢。
向量的大小叫做向量的模，也称向量的长度。
向量AB与a的模分别记作︱A B︳与︱a︳模等于1的向量叫做单位向量，与向量a具有同一方向的单位向量叫做向量a单位向量常用a0来表示模等于0的向量叫做零向量记作0，它的起点与终点重合的向量，零向量的方向不定，不是零向量的响量叫做非零向量定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么就叫相等向量，所有零向量都相等，向量a与b相等，记作a＝b始点可以任意选取，而模和方向决定的向量，这样的向量通常叫做自由向量*必须注意，由于向量不仅有大小，而且有方向，因此，模相等的向量不一定相等，因此他们的方向可能不同定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量，向量a的反向量记作-a定.义1.14平行于同一直线的一组向量叫做共线向量，零向量与任何共线的向量组共线定义1.1.5平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面&1.2向量的加法定义1.2.1设已知向量a,b，以空间任意一点O为始点接连作向量OA＝a,AB＝b得一折线OAB，从折线的端点O到另一端点B的向量OB＝c，叫做两向量a与b的和，记作c＝a+b,求两向量a与b的和a+b的运算叫做向量加法定理1.2.1如果以两个向量OA，OB为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量OC=OA+OB，这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律1》交换律 a+b=b+a2》结合律（a+b）+c=a+（b+c）3》a+0=a4》a+（-a）=0自任意点O开始，依次引OA1=a1,A1A2=a2,…A n-1A n+1=a n,由此得一折线OA1A2A n，于是向量OA n=a就是n个向量a1a2…a n,的和：a=a1+a2+…+a n即OA n=OA1+A1A2+…+A n-1A n特别地当A n与O重合时它们的和为零向量0，这种求和方法叫做多边形法则定义1.2.2当向量b与向量c的和等于向量a，即b+c=a时，我们把向量c叫做向量a与b的差，并记作c=a-b,有两向量a与b求它们的差a-b的运算叫做向量减法&1.3数量乘向量定义1.3.1实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa,它的模是|λa|=|λ||a|λa的方向，当λ＞0时与a相同，当λ＜0时与a相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘已知向量a和它的单位向量a0,下面的等式显然成立a=|a|a0或a0=a／|a|由此可知，一个非零向量乘以它的模的倒数，结果是一个与它同方向的单位向量定理1.3.1数量与向量的乘法满足下面的运算定律1》 1·a=a;2》 结合律λ（μ）=（λμ）a3》 第一分配律（λ+μ）a=λa+μa4》 第二分配律λ（a+b）=λa+λb这里a,b为向量，λ，μ为任意实数&1.4向量的线性关系与向量的分解定义1.4.1由向量a1a2…a n与实数λ1λ2…λn所组成的向量a=λ1a1+λ2a2+…+λn a n叫做向量a1a2…a3的线性组合像λa只有一个向量与实数结合的情况，也称它为向量a的线性组合定理1.4.1如果向量e≠0，那么向量r与向量e共线的充要条件是r可以用向量e线性表示，或者说r是e的线性组合即r=xe并且系数x被e,r唯一确定定理1.4.2如果向量e1e2不共线，那么向量r与e1e2共线的充要条件是可以用e1e2线性表示或者说向量r可以分解成e1e2的线性组合即 r=xe1+ye2并且系数x,y被e1，e2，r唯一确定这是e1，e2叫做平面向量的基底定理1.4.3如果向量e1 e2 e3不共面，那么空间任意向量r可以由向量e1 e2 e3线性表示，或者说空间任意向量r可以分解成向量e1 e2 e3的线性组合，即r=xe1+ye2+ze3并且其中系数x，y，z被e1 e2 e3唯一确定这时e1 e2 e3叫做空间向量的基底定义1.4.2对于n（n≥1）个向量a1a2…a n如果存在不全为零的n个数λ1λ2…λn使得λ1a1+λ2a2λ+…+λn a=0那么n个向量a1a2…a n叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关向量a1a2…a n叫做线性无关就是指：只有当λ1=λ2=…=λn=0时λ1a1+λ2a2λ+…+λn a=0才成立定理1.4.4在n≥2时，向量a1a2…a n线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合………………定理1.4.5如果一组向量中得一部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关定理1.4.6两向量共线的充要条件是它们线性相关定理1.4.7三向量共面的充要条件是它们线性相关空间任何四个向量总是线性相关&1.5标架与坐标定义1.5.1空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序向量e1，e2，e3的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O，e1，e2， e3}，如果e1，e2，e3都是单位向量，那么{O；e1，e2，e3}叫做笛卡尔标架e1，e2，e3亮亮互相垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；在一般的情况下，{O；e1，e2，e3}叫做仿射标架￥对于标架{O;e1，e2，e3}，如果e1，e2，e3间的互相关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这标架就叫做右旋标架或称右手标架。
如果e1，e2，e3和左手的拇指、食指、中指相同那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架定义1.5.2r=xe1+ye2+ze3式中的x，y，z，叫做向量r关于标架{O;e1，e2，e3}的坐标或称为分量，记做r{x，y，z}或{x，y，z}定义1.5.3对于取定了标架{O；e1，e2，e3}的空间中任意点P，向量OP叫做点P的向径，或称点P的位置向量，向径OP关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标x，y，z叫做点P关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标，记做P（x，y，z）或（x，y，z）当空间取定标架{O;e1，e2，e3}之后，空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x，y，z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间向量或点的一个坐标系，这时，向量或点关于标架{O;e1，e2，e3}的坐标，也称为该向量或点关于由着标架所确定的坐标系的坐标由于空间坐标系由标架{O；e1，e2，e3}完全决定，因此空间坐标系也常用标架{O；e1，e2，e3}来决定，这时点O叫做坐标原点；向量e1，e2，e3都叫做坐标向量。
￥由右旋标架决定的坐标系叫做右旋坐标系或称右手坐标系，由左旋标架决定的坐标系叫做左旋坐标系或称左手坐标系；仿射标架、笛卡儿标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡儿坐标系与直角坐标系坐标 ⅠⅡⅢ Ⅳ ⅤⅥⅦⅧ卦限X + - - ++--+Y + +- -++--Z + ++ +----定理1.5.1向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标定理1.5.2两向量和的坐标等于两向量对应的坐标和定理1.5.3数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积定理1.5.4两个非零向量a{X1,Y`1,Z1},b{X2,Y2,Z2}共线的充要条件是对应成比例,即X 1／X 2=Y1／Y2 =Z1／Z2定理1.5.5三个非零向量a{X1,Y1,Z1}b{X2,Y2,Z2}和c{X3,Y3,Z3}共面的充要条件是︱X1 Y1 Z1︱︱X2 Y2 Z2︱︱X3 Y3 Z3︱定理1.5.6设有向线段向量P1P2的始点为P1（x1，y1，z1）终点为P2（x2,y2,z2）,那么分有向线段P1P2成定比λ（λ≠1）的分点P的坐标是x=x1+λx2／1+λ&1.6向量在轴上的射影定义1.6.1设向量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为点A’B’，那么向量A’B’叫做向量AB在轴l上的射影向量，记作射影向量t AB定理1.6.1向量AB在轴l上的射影等于响亮的模乘以轴与该向量的夹角的余弦；射影t AB=︱AB︱cosθ，θ=∠（l，AB）定理1.6.2对于向量a，b有射影t（a+b）=射影t a+射影t b定理1.6.3对于任何向量a与任意实数λ有射影t （λa）=λ射影t a&1.7两向量的数量积定义1.7.1两向量a和b的模和它们夹角的余弦的乘积叫作向量a和b的数量积（也称内积）,记作a·b或ab,即a·b=︱a︱︱b︱cos∠（a,b）两向量的数量积是一个数量而不是向量,特别地当两向量中有一个为零时,例如b=0,那么︱b︱=0,从而有a·b=0当a,b为两非零向量时,可得a·b=︱a︱射影a b=︱b︱射影b a特别地,当b为单位向量e时,有a·e=射影e a·如果·a·b=︱a︱︱b︱cos∠（a,b）中友b=a那么有a·a=︱a︱2我们把数量积a·a叫做a的数量平方，并记作a2定理1.7.1两向量a与b互相垂直的充要条件是a·b=0定理1.7.2向量的数量积满足下面的运算规律1）交换律 a·b=b·a2）关于数因子的结合律 （λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）3）分配律 （a+b）·c=a·c+b·c4）a·a=a2＞0（a≠0）定理1.7.3设a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k那么a·b=X1X2+Y1Y2+Z1Z2定理1.7.4设a=Xi+Yj+Zk,那么︱a︱=根号下a方=根号下X2+Y2+Z2定义1.7.6非零向量a=Xi+Yj+Zk的方向余弦是Cosα=X／︱a︱=X／根号下X2+Y2+Z2cosβ=Y／︱a︱=Y／根号下X2+Y2+Z2／cosγ=Z／︱a︱=Z／根号下X2+Y2+Z2且 cosα2+cosβ2+cosγ2=1定理1.7.7设空间中两个非零向量为a{X,Y,Z}和b{X,Y,Z},那么它们夹角的余弦是；cos∠（a，b）=a·b／︱a︱︱b︱=X1X2+Y1Y2+Z12Z／（根号下X12Y12Z12·G根号下X22Y22Z22）&1.8两向量的向量积定义1.8.1两向量a与b的向量积（也称外积）是一个向量，记作a×b 或［ab］，它的模是 ︱a×b︱=︱a︱︱b︱sin∠（a，b）它的方向与a和b都垂直，并且按a，b，a×b这个顺序构成右手标架{O；a，b，a×b}定理1.8.1两不共线向量a与b的向量积的模，等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积定理1.8.2两向量a与b共线的充要条件是a×b=0定理1.8.3向量积是反交换的，即a×b=-b×a定理1.8.4向量积满足关于数因子的结合律，即λ（a×b）=（λa）×b=a×（λb）定理1.8.5向量积满足分配律，即（a+b）×c=a×c+b×c例1证明（a-b）×（a+b）=2（a×b）,并说明它的几何意义证; （a-b）×（a+b）=a×a-b×a+a×b-b×b=0-b×a+a×b-0=a×b+a×b=2（a×b）它的几何意义是：平行四边形面积的两倍等于以它的对角线为边的平行四边形面积定理1.8.6如果a=X1i+Y1j+Z1k，b=X2i+Y2j+Z Z k那么a×b=︱Y1 Z1︱i+︱Z1 X1︱j+︱X1 Y1︱k︱Y2 Z2︱ ︱Z2 X2︱ ︱X2 Y2︱&1.9三向量的混合积定义1.9.1给定空间的三个向量a，b，c，如果先做前两个向量a与b的向量积再作所的向量与第三个向量c的数量积，最后得到的这个数叫做三向量a，b，c，的混合积，记作（a×b）·c或（a，b，c）或（abc）定理1.9.1三不共面向量a，b，c的混合积的绝对值等于以a，b，c，为棱的平行六面体的体积V，并且当a，b，c，构成右手系是混合积是整数，当a，b，c，构成左手系的时候，混合积是负数，也就是有（abc）=εV当a，b，c，是右手系时ε=1，a，b，c，是左手系时ε=-1定理1.9.2三向量a，b，c共面的充要条件是（abc）=0定理1.9.3轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要癌变乘积符号，即（abc）=（bca）=（cab）=-（bac）=-（cba）=-（acb）定理1.9.4如果a=X1i+Y1j+Z1k，b=X2i+Y2j+Z2k，c=X3i+Y3j+Z3k那么︱X1 Y1 Z1︱（abc）=︱X2 Y2 Z2︱︱X3 Y3 Z3︱&1.10三向量的双重向量积定义1.10.1 给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所的向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积定理1.10.1（a×b）×c=（a·c）b-（b·c）a。