4、各自积分
EI1EI12 FLb x2C1 EI16 FLb x3C1xD 1
E2 IE2I2 F Lx2 b F 2(x a )2 C 2
E2I6 F Lxb 3F 6(xa)3C 2xD 2
5、确定积分常数
边界条件： x0 1 0
xL 2 0
连续条件： xa 1 2
1 2
C16FLb(L2b2) C2, D1D20
载荷叠加法 （查表法）
应用于多个载荷作用的情形
例1 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
ωC , B
1、载荷分解
2查表：单独载荷作用下
B1
ql3 24EI
,
C1
5ql4
384EI
B2
(q)ll2 q3l , 16EI 16EI
wC2
(ql)l3 48EI
B3(q3E 2l)Il 3qE3l,I
案例1： 车削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；
案例2： 摇臂钻床简化为刚架， 受工件的反力作用； 如果钻床的变形过大， 不能准确定位。
车间桁吊大梁的变形
案例3： 车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 案例1：
在小变形， 材料服从胡克定律的情况下，
挠曲线的近似微分方程 EI(x)M (x)是线性的；
计算弯矩时，使用变形前的位置
弯矩 M(x)与载荷之间的关系 是线性的；
对应于几种不同的载荷， 弯矩可以叠加， 近似微分方程的解也可以叠加。
证明 设弯矩 M(x)MFMq 挠曲线 F q
分别满足各自的近似微分方程
w
w w
w w
w
C1
ql3 6EI
,
C1
ql4 8EI
q( l )3
w
B2
2 6 EI
,
c2
C2 B2B22l
q( l )4 2
8 EI
B
2
l 2
w
CC1C2 ql 4
8 EI
q( l )4 2
8 EI
B
2
l 2
41ql4 384EI
CC1C2 ql 3
6 EI
q( l )3 2
2、分段列出梁的弯矩方程
AC段 (0xa)
M1(x)FAxFLbx,
x
x a L
F B
C b
x
F By
BC段 (axL) M 2(x)F Lb xF(xa),
3、代入各自的挠曲线近似微分方程中
M1(x)
Fbx, L
EI1
Fbx, L
Fb M 2(x)LxF(xa),
EI2 F Lb xF(xa),
四、不宜采用高强度钢; 各种钢材Ｅ大致相同。
1、y’’=M(x)/EI在 条件下成立？ A：小变形； B：材料服从虎克定律； C：挠曲线在XOY面内； D：同时满足A、B、C；
2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大 处一定最大。
A：挠度 B：转角； C：弯矩；
弯曲变形的物理量 挠度ω + 转角
§6-2 挠曲线的微分方程
1、建立y坐标系
x
x
2、挠曲线方程：
Xoy平面 就是梁的纵向对称面； 在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内
的一条平面曲线； 该曲线方程为 ： f(x)
3、挠度、转角物理意义
y
x
①：挠度的物理意义：
挠曲线在该点处的纵坐标；
2）考虑BC段变形引起C截面的挠度 AB段看作刚体
F
A
BC
wC2
Fa3 () 3EI
l
a
F
C
B a
wC 2
C截面的总挠度
CC1C2
Fa2l Fa3 () 3EI 3EI
讨论 积分法求变形有什么优缺点？ 叠加法求变形有什么优缺点？
弯曲变形的刚度条件：
[], []
max
m ax
[ω]——许用挠度，[]——许用转角
2
积分一次： EI'EI1q3xC
6
转角方程
B x
积分二次： EI1q4xCxD
24
挠曲线方程
3、确定常数C、D. 边界条件：
xL: 0 0
C 1qL3 6
D 1 qL4 8
q
A
B
L
EI'EI1q3xC
6
EI1q4xCxD
24
1(1q3x1q3L)
EI 6 6
1(1q4xq3L xq4L )
EI24 6 8
4、计算A截面的挠度和转角
A截面处 x0
A
qL3 6EI
A
qL4 8EI
q
A
B
L
1(1q3x1q3L)
EI 6 6
1(1q4xq3L xq4L )
EI24 6 8
例2 一简支梁受力如
ω
图所示。试求 (x),w(x) A
和 A 。
F Ay
1、求支座反力
Fb
FAy
, L
FBy
Fa L
A l
F
BC a
1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度 (BC段看作刚体)
外力向研究的ＡＢ段上简化
F
Fa
F：作用在支座上，不产生变形。
A
B C Fa：使AB梁产生变形。
l
a
F
Fa
Fa引起梁的变形形状为
A
B B
ＡＢ段上凸； C C1
l
a
B
(Fa)l 3EI
C1Ba
(Fa)l 3EI
a
Fa2l 3EI
()
梁的边界条件
悬臂梁：
ω
L
x
x0:
0 0
梁的边界条件
简支梁： ω
x L
x0: 0
xL: 0
连续性条件：
ω
边界条件
A
x0: 0
xL: 0
P B
C a
x
L
连续性条件
xa:
C左
C右
C左
C右
连续性条件：
ω A
C a
M
B
x
L
xa: C左C右
特别强调
C左 C右
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
1
y''(x) 1y'2(x)
3 2
（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）
平面弯曲的挠曲线 正好为xoy平面内的一条曲线，
所以曲线y=f(x)： 从数学上讲 是一条普通的平面曲线，
从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
挠曲线微分方程
1 M (x)
EI
1
y''(x) 1y'2(x)
例1：写出梁的边界条件、连续性条件：
边界条件
ω
P
B
x0: 0
A
a
C

x
k
xL: FBy
k
L
连续性条件
xa: C左 C右
C左
C右
例2：写出梁的边界条件、连续性条件： 边界条件
EA P
h
x0: 0
xL: FByh
A
a
C
B
EA
连续性条件
L
xa:
C左
C右
C左
C右
讨论：挠曲线分段
6 EI
7ql4 48EI
第二类叠加法 逐段刚化法
将梁的挠曲线分成几段;
首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位 移（挠度和转角）; 然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。
在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，
除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。
例3 ： 用叠加法确定ωC ?
工程中， [ω]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示。
对于桥式起重机梁：
[] l ~ l
500 750
对于一般用途的轴： [] 3l ~ 5l
1000010000
在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：
[]0.00r1ad
1、求自由端的挠度与转角
q
P
L
2、求自由端的挠度与转角
q
P2
P1
L
L
3、求简支梁中点的挠度
5、挠曲线近似微分方程 在小变形的条件下，
(x) M(x)
12(x)32 EzI
挠曲线是一条光滑平坦的曲线，
转角 较小，
(x)(x)0 12(x)1
故得挠曲线近似微分方程：
''M(x)
EI
符号规定：
ω M
M0
d 2
dx 2
0
M x
M0
ω
d 2 dx 2
0
M
Mx
挠曲线为凹曲线
挠曲线为凸曲线
汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；
二、弯曲变形的物理量
拉伸 F
扭转：
F
l FN l
EA
T l
G IP
弯曲变形的物理量如何？
内 力 杆 件 长 度 抗变形刚度
弯曲变形的物理量 1、挠曲线
x
2、挠度 截面形心在力的方向的位移 ω 向上为正
3、转角 截面绕中性轴转过的角度 逆时针为正
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0