图形的旋转 一．旋转的性质
(1)旋转前后的图形全等；
(2)对应点到旋转中心的距离相等；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
例1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
例2.Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，△B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0︒<m <180︒）度后，如果点B 恰好落在初始Rt△ABC 的边上，那么m ＝_________． 【答案】80和120
例3. 在Rt △ABC
中，∠ACB =90°，AC =BC ，C D 为AB 边上的中线．在Rt △AEF
中，∠AEF =90°，AE =EF ，AF < AC ．连接BF ，M ，N 分别为线段AF ，BF 的中点，连接MN ．
（1）如图1，点F 在△ABC 内，求证：CD = MN ；
（2）如图2，点F 在△ABC 外，依题意补全图2，连接CN ，EN ，判断CN 与EN 的数量
关系与位置关系，并加以证明；
（3）将图1中的△AEF 绕点A 旋转，若AC =a ，AF =b （b <a ），直接写出EN 的最大值与
最小值．
图1 图2 备用图
O
C '
A '
C
B
A
A
A'
C B
A
C
A
B
D
E
F
A
D
E F
M N
C
A
B
D
解：（1）证明：在Rt △ABC 中，
∵ CD 是斜边AB 上的中线． ∴ CD =
2
1
AB ． 在△ABF 中，点M ，N 分别是边AF ，BF 的中点，
∴ MN =2
1
AB ， ∴CD = MN ．
（2）答：CN 与EN 的数量关系CN = EN ，
CN 与EN 的位置关系CN ⊥EN ． ························································ 3分 证明：连接EM ，DN ，如图．
与（1）同理可得 CD = MN ， EM = DN ．
在Rt △ABC 中， CD 是斜边AB 边上的中线， ∴ CD ⊥AB ．
在△ABF 中，同理可证EM ⊥AF ． ∴ ∠EMF =∠CDB = 90︒．
∵D ，M ，N 分别为边AB ，AF ，BF 的中点， ∴ DN ∥AF ，MN ∥AB ．
∴ ∠FMN =∠MND ，∠BDN =∠MND ． ∴ ∠FMN = ∠BDN ．
∴ ∠EMF +∠FMN =∠CDB +∠BCN ． ∴ ∠EMN =∠NDC ． ∴ △EMN ≌△DNC ． ∴ CN = EN ，∠1 =∠2． ∵ ∠1 +∠3 +∠EMN = 10︒， ∴ ∠2 +∠3 +∠FMN = 90︒．
∴ ∠2 +∠3 +∠DNM = 90︒，即∠CNE = 90︒． ∴ CN ⊥EN ．
（3）EN 的最大值为
22b a +，最小值为2
2b
a -.已知：E 是线段AC 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB =∠EAB ，联结AD .
（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB =60°时，如图1，求证：ED =AD +BD ； （2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB = α（0º﹤α﹤90º）时，如图2，请你直接写
出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）； （3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB =90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、
AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.
（1）证明：作∠D AH =∠EAB 交D E 于点H .
∴∠D AB =∠HAE .
∵∠EAB =∠EDB ，∠APE =∠BPD ， ∴∠ABD =∠AEH . ∵又AB =AE ， △△ABD △△AEH . △BD =EH ，AD =AH . ∵∠D AH =∠EAB =60°， △△ADH 是等边三角形. ∴AD =HD . ∵ED = HD +EH ∴ED =AD +BD .
(2) BD AD ED +=2
sin 2α
（3）ED=B D －2AD
作∠D AH =∠EAB 交DE 于点H . ∴∠DAB =∠HAE . ∵∠EDB =∠EAB =90°，
∴∠ABD +∠1=∠AEH +∠2 =90°. ∵∠1=∠2 ∴∠ABD =∠AEH . ∵又AB =AE ，
∴△ABD ≌△AEH . ∴BD =EH ，AD =AH . ∵∠DAH =∠EAB =90°， ∴△ADH 是等腰直角三角形.
=HD . ∵ED =EH -HD
∴AD BD ED 2-=。