2017届高三“四校联考”试卷
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在答题卡的相应位置上..
1.全集{}1,2,3,4,5，集合{}1,3,4A =，则U C A = .
2.设复数z a bi =+（,,a b R i ∈为虚数单位），若()2z i i -=，则a b +的值为 .
3.函数
y =的定义域为 .
4.棱长均为1的正四棱锥的体积为 .
5.已知实数,x y 满足不等式组0,,40,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =-的最大值为 .
6.若“2,20x R x x a ∃∈++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 .
7.将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰好关于坐标原点对称.
8.已知等差数列{}n c 的首项为11c =，若{}23n c +为等比数列，则2017c = . 9.在平面直角坐标系xoy 中，设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦距为()20c c >，当,a b 任意变化时，a b c
+的最大值是 . 10.已知()()tan 2,tan 3αβαβ+=-=，则
sin 2cos 2αβ=的值为 . 11已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件(),a b 的
数组为 .
12.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22
:2C x y +=，直线20x by +-=与圆C 交于A,B
两点，且OA OB OB +≥-u u u r u u u r u u r u u u r ，则b 的取值范围为 .
13.已知函数()31log 1
x f x x +=-，平行四边形ABCD 四个顶点都在函数()f x 的图象上，且
()52,1,,24A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则平行四边形ABCD 的面积为 . 14.已知数列{}n x 各项为正整数，满足1,21,n n n n
n x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，，若343x x +=，则1x 所有可能的
取值集合为 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.（本题满分14分）
在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，已知3, 2.b c ==
（1）若2cos 3a C =，求a 的值；
（2）若cos 1cos c C b B
=+，求cos C 的值. 16.（本题满分14分） 如图，在四面体ABCD 中，AD=BD,90ABC ∠=o ,点E,F 分别为棱AB,AC 上的点，若点G 为棱
AD 的中点，且平面EFG//平面BCD ，求证：
（1）BC=2EF;
（2）平面EFD ⊥平面ABC.
17.（本题满分16分）
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图
2是凹矩形，槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是
弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4，若凹槽的强
度T 等
于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设2,.AB x BC y ==
范围； （1）写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值
（2）求当x 取何值时，凹槽的强度最大.
18.（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为32，点A,B 分别为椭圆C 的上顶点，右顶点，过坐标原点的直线交椭
圆C 于D,E 两点，交AB 于M 点，其中点E 在第一象限，设直线DE 的斜率为.k
（1）当12
k =时，证明直线DE 平分线段AB; （2）已知点()0,1A ，则
①若6ADM AEM S S ∆∆=，求k ；
②求四边形ADBE 的最大值.
19.（本题满分16分）
已知数列{}n a 满足1210,8a a ==
，且对任意,m n N *∈都有()221211324n n m n a a a m n -++-+=+- （1）求35,a a ；
（2）设2121n n n b a a -+=+，
①求数列{}n b 的通项公式； ②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，是否存在正整数,p q ，且1p q <<，使得1,,p q S S S 成等比数列？若存在求出,p q 的值，若不存在，说明理由.
20.（本题满分16分）
已知()()ln .f x ax x a R =-∈
（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；
（2）函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <
①求a 的取值范围；
②实数m 满足12ln ln x x m +>，求m 的最大值.
2017届高三“四校联考”试卷
数学Ⅱ（附加题）
21【选做题】本题包括A,B,C,D 四个小题，请选定其中两题，并在相应答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解题时，应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
A[选修4—1：几何证明选讲]（本题满分10分）
如图已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个
圆的圆心O 在AB 上，且四边形ABCD 的其余三边相切，
点E 在边AB 上，且AE=AD.
求证：O,E,C,D 四点共圆.
B[选修4—2：矩阵与变换]（本题满分10分）
在直角坐标xoy 中，设点(),5P x 在矩阵1234M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点()2,Q y y -，求1x M y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦.
C.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线sin 24πρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭
A,B 两点， 求AB 线段的长.
D.[选修4—5：不等式选讲]（本题满分10分） 已知0,0x y >>，求证：22
.x y xy x y
+=+ 【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，请在答题卡的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22、在直角坐标xoy 中，已知定点()8,0A -，M,N 分别是x 轴、y 轴上的点，点P 在直线MN 上满足0,0.NM NP AM MN +=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u u r
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设F 是P 点的轨迹的一个焦点，C,D 为轨迹在第一象限内的任意两点，直线FC 、FD 的斜率分别为12,k k ，且满足120k k +=，求证：直线CD 过定点.
23.（本小题10分）
已知函数()()0sin ax
f x e bx c =+，设()n f x 为()1n f x -的导数.n N *∈
（1）求()()()123,,f x f x f x ；
（2）求()n f x 的表达式，并证明你的结论.。