专题3 天体运动问题的
归类整合
宇宙飞船、人造卫星、航天飞机是物理学和现代科技发展的产 物,与此相关的天体运动问题是每年高考的命题热点,一般多以选择
题的形式出现。
天体运动问题的常见题型: (1)天体的质量、密度计算问题;(2)天体类重力加速度的分析与计算; (3)卫星的运行——基本参量的分析与计算;(4)卫星的变轨问题;(5)双 星问题。 除此以外,还有下列题型:
M R
【例6】 随着我国登月计划的实施,我国宇航员登上月球已不是梦想。
假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出
一个小球,经时间t后小球回到出发点。已知月球的半径为R,万有引力 常量为G。则下列说法正确的是(
0 A.月球表面的重力加速度为
)。
2v t
2v0 R 2 B.月球的质量为 Gt
(4 )2 Mm 4 3 3 由G =m 2 r和M= ρ得T= πr 。 r2 Gρ 3 T
3 答案:k / Gρ
三、三星问题 三星问题和双星问题相似,解答时要注意:(1)绕某中心天体转动的天 体有相同的周期;(2)环绕天体的轨道半径一般不等于天体间的距离, 通过几何知识可找到它们的关系;(3)弄清环绕天体运动的向心力由 谁(其他天体的引力的合力)提供。
A.“天宫”一号运行时向心加速度比“神舟”八号小
B.“天宫”一号运行所需的向心力比“神舟”八号大 C.“天宫”一号运行时机械能比“神舟”八号小 D.“神舟”八号要实现与“天宫”一号的对接需点火加速 解析:由万有引力提供向心力可知,轨道半径越大,加速度越小,周期越
大。所以A正确,又由“神舟”八号与“天宫”一号的质量相同,故B
GM sin
α s 2 ,则飞船周期为T= 2 R = α R v sin 2
R
GM sin
α 2
,选项D正确。
答案:AD
2.与自由落体、抛体等运动的综合
星球表面的重力加速度一方面与星球有关(g=G ),另一方面又可以 2 从相关运动规律(平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求 出,重力加速度是联系运动学和万有引力、天体运动的纽带。
4 2 m2 m2 2· G 2 a ① 2 2 cos 30°+G =m T1 a ( 3a)
2 1
2(3 3) 2 a3 解得T = ② Gm
2 对正方形模式,如图乙所示,四星的轨道半径均为 a,同理有 2
4 2 2 m2 m2 2· cos 45°+G G 2 =m 2 a ③ T2 2 a ( 2a ) 2
0 答案: 2hR
v x
迁移运用11990年3月,中国紫金山天文台将
1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为“吴健雄星”,其直径 2R2=32 km。如果该小行星的密度与地球的密度相同,则对该小行星而
言,第一宇宙速度为多少?(已知地球的半径为R1=6 400 km,地球的第一
宇宙速度v取8 km/s)
3GmT 2 1 ( 2 3 ) 4
迁移运用2宇宙中存在质量相等的四颗星组
成的四星系统,这些系统一般离其他恒星较远,通常可忽略其他星体 对它们的引力作用。四星系统通常有两种构成形式:一是三颗星绕另 一颗中心星运动(三绕一);二是四颗星稳定地分布在正方形的四个顶 点上运动。若每个星体的质量均为m,引力常量为G。 (1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式。 (2)若相邻星球的最小距离均为a,求两种构成形式下天体运动的周期
2Rt 子解得T=π v ,选项D错误。 0
答案:AB
D.“神舟”七号飞船在绕地球飞行的过程中,宇航员从舱内慢慢走 出,若他离开飞船,飞船因质量减小,所受万有引力减小,故飞船飞行速 率减小
v2 4 2 r 3 4 2 Mm 2 r GM 解析:由G =m r=m ,求得M= 2 ,r= ,T= ,故A正确;由 r r2 GT v T2 v2
不同),也不同于同步卫星的运转(二者周期虽相同,但轨道半径不同)。
这三类问题极易混淆,要弄清楚。
【例2】 设在地球上和在x天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的 最大高度比为k(均不计阻力),且已知地球和x天体的半径比也是k,则
地球质量与此天体的质量比为
,若粗略地认为组成星球
该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近 的物体做圆周运动,最终导致星球解体。设此x天体的密度为ρ,且质 量均匀分布,则其最小自转周期为 。
之比。
解析:(1)三颗星绕另一颗中心星运动时,其中任意一个绕行星球受到
另三个星球的万有引力的合力提供向心力,三个绕行星球的向心力一 定指向同一点,且中心星受力平衡,由于星球质量相等,具有对称关系,
因此向心力一定指向中心星,绕行星一定分布在以中心星为重心的等
边三角形的三个顶点上,如图甲所示。
(2)对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a,所受合力等于向心力, 因此有
卫星知识可知B正确;在某一轨道上沿同一方向绕行的人造卫星和飞
船,其运行速度大小相等,飞船如果加速会做离心运动,故同一轨道沿 同一方向运行的卫星,后面的卫星速度增大追不上前面的卫星,C错 误;“神舟”七号飞船的速率不会因为宇航员的离开发生变化,D错。 故正确选项为A、B。 答案:AB
五、天体运动的综合问题
【例3】 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星 组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到 稳定的三星系统存在的一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶
点上,并沿外接于等边三角形的圆轨道运行,其周期为T。设每个星体
的质量均为m,万有引力常量为G,则星体之间的距离应为多少?
某同学对此题的解法为:设星体之间的距离为r,如图所示,则三个星体 做圆周运动的半径为R'=
r ① 2cos30
星体做圆周运动所需的向心力由万有引力提供。 根据牛顿第二定律有
Gm2 F引= 2 R'
4m 2 ② F合= 2 R' ③ T
由①②③式得r。
问:你同意上述解法吗?若同意,求出星体之间的距离;若不同意,则说 明理由并写出你认为正确的结果。
一、第一宇宙速度的求解问题 第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度,表达式一:v=
Mm GM ,由G = R2 R
v2 v2 m 求得;表达式二:v= gR ,由mg=m 求得。由于涉及重力加速度g, R R
经常与竖直上抛、平抛、单摆等综合起来考查。
【例1】 在月球上以初速度v0自高h处水平抛出的小球,射程可达x。
答案:20 m/s
二、天体自转不解体问题 天体自转时,天体上的各质点(轴上的除外)都随天体绕自转轴(某点) 做匀速圆周运动,其特点为:(1)具有与天体自转相同的角速度和周期; (2)万有引力除提供向心力外,还要产生重力;(3)当质量、转速相同时, 赤道上的物体所需向心力最大,若转速增大(或密度变小,即半径变 大),赤道上的物体最易做离心运动,导致天体解体。此类问题既不同 于天体表面附近的卫星做匀速圆周运动(二者轨道半径相同,但周期
已知月球半径为R,如果在月球上发射一颗月球的卫星,它在月球表面
附近环绕月球运行的速度是多少? 解析:设月球表面的重力加速度为g',小球做平抛运动,水平方向x=v0t,
v2 2hv 2 1 2 v0 竖直方向h= ,对于卫星mg'=m g't ,解以上各式得g'= ,v= 2hR 。 R 2 x2 x
做平行光,宇航员在A点测出地球的张角为α,则(
)。
A.飞船绕地球运动的线速度为

T sin 2
T T0
2 R
B.一天内,飞船经历“日全食”的次数为
αT0 C.飞船每次经历“日全食”过程的时间为 2
D.飞船的周期为T=
2 R R sin 2
GMsin
α 2
α 解析:由题图可知卫星轨道半径为r=R/sin ,其角速度为ω=2π/T,可知 2
解析:星体做圆周运动所需的向心力靠其他两个星体的万有引力的合 力提供,求两星体之间的万有引力时,应用星体之间的距离r,①③式正 确。正确解法为:
2Gm 2 如图所示,由力的合成和牛顿运动定律有F合= 2 cos 30°② r
3GmT 2 1 )3 。 由①②③式得r=( 2 4
答案：不同意
1.与光学知识的综合 此类问题对用图展示物理过程、数理结合方面要求较高,因此根据题 意画好光路图至关重要。
【例5】 (2010· 浙江理综)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时,由 于地球遮挡阳光,会经历“日全食”过程,如图所示。已知地球的半 径为R,地球质量为M,引力常量为G,地球自转周期为T0。太阳光可看
(n=1,2,3…)。
【例4】 (2012· 江苏盐城中学期中)2011年11月3日1时43分,中国自行 研制的“神舟”八号飞船与“天宫”一号目标飞行器在距地球343
千米的轨道实现自动对接,为建设空间站迈出关键一步。若“神舟” 八号飞船与“天宫”一号的质量相同,环绕地球运行均可视为匀速圆 周运动,运行轨道如图所示,则( )。
GMm 解析:由万有引力等于重力,得 2 =mg,即M∝gR2①;根据竖直上抛运 R v0 2 R2 2 v0 动的规律,得 =2gh,即g= ②,由①②并结合题意得M∝ ,即所求 h 2h
M 地 R地 2 hx 为 =( ) =k。 Rx h地 Mx
一个星球高速旋转而不瓦解的临界条件为星体赤道表面的某质点m 所受星体的万有引力等于向心力,则
4(4 2) 2 a3 T2 解得 = ④ 7Gm
2
T1 (4 2)(3 3) 故 = 。 T2 4
答案:(1)三颗行星分布在以中心星为重心的等边三角形的三个顶点
上,如图甲所示。
(4 2)(3 3) (2) 4
四、天体的“追及相遇”问题 “天体相遇”,指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一 平面内,则两环绕天体与中心天体在同一直线上,且位于中心天体的 同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。 设天体1(离中心近些)与天体2某时刻相距最近,如果经过时间t,两天 体与中心连线半径转过的角度相差2π的整数倍,则两天体又相距最 近,即ω1t-ω2t=2nπ(n=1,2,3…);如果经过时间t',两天体与中心连线半径 转过的角度相差π的奇数倍,则两天体又相距最远,即ω1t'-ω2t'=(2n-1)π