2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三（上）第一次联考数学试卷2（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设z =21+i +2i ，则z −的虚部是( )A. 2B. 1C. −2D. −1 2. 已知集合A ={x|x ≥a}，B ={0,1，2}，若A ∩B =⌀，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)3. 已知a ，b ∈R ，则“ab >0“是“ba +ab >2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 4. 函数f(x)=lnx +ax 存在与直线2x −y =0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2]B. (−∞,2−1e )∪(2−1e ,2) C. [0,+∞) D. (2,+∞)5. 若a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项不一定成立的是( )A. ab >acB. cb 2<ab 2C. bc >acD. ac(a −c)<0 6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =2C ，c =2，a 2=4b −4，则a =____.( )A. 1B. 2C.D.7. 已知函数f (x )={(a −1)x +4−2a,x <11+log 2x,x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. (1,2]B. (−∞,2]C. (0,2]D. [2,+∞)8. 把15个相同的小球放到三个编号为1、2、3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法( )A. 18B. 28C. 38D. 429. 执行如图所示的程序框图，如果输入的a =2，则输出的T =( )A. 8B. −8C. −56D. −7210. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的离心率为( )A. √32B. √33C. √22D. √6311. 函数f(x)={x +1,(−1⩽x <0)cos x,(0⩽x ⩽π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A. 32 B. 1 C. 2D. 12 12. 在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n =5n+1+a ，则a 的值为 ( )A. −1B. 1C. 5D. −5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2√x −√x4)6的展开式的常数项是______ (用数字作答) 14. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S10S 5=4，则4a 1d=______．15. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2BC =2，直线DC 1与平面ABCD 所成的角为45°，则异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值为______． 16. 设P 为直线y =b3a x 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2，且2bcosB =acosC +ccosA ．(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值．18. 如图，已知四边形ABDE 中，AE//BD 且BD =12AE.△ABC 是正三角形，且AB =AE ，M 是AC的中点，AE ⊥平面ABC ．(Ⅰ)求证：BM⊥CE；(Ⅱ)求直线ME与平面CDE所成角的正弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4√3x的焦点重合，且直线y=bax与圆x2+y2−10x+20=0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．20.某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=alnx −12x 2+12(a ∈R 且a ≠0)．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)是否存在实数a ，使得对任意的x ∈[1,+∞)，都有f(x)≤0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l:y =√3x(x ⩾0)，曲线C 1的参数方程为{x =3cos αy =2sin α(α为参数)，曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ=8sin θ．(1)写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程； (2)已知射线l 与C 2交于O,M ，与C 3交于O,N ，求|MN|的值．23. 已知函数f(x)=|x −a|−2．(Ⅰ)若a =1，求不等式f(x)+|2x −3|>0的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)<|x −3|恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵z=21+i +2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i，∴z−=1−i，∴z−的虚部是−1，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：∵A∩B=⌀，且A={x|x≥a}，B={0,1，2}；∴a>2；∴a的取值范围是(2,+∞)．故选：D．根据A={x|x≥a}，B={0,1，2}，并且A∩B=⌀，从而得出a>2，即得出a的取值范围．考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算，空集的定义．3.答案：B解析：【分析】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据充分条件，必要条件的定义判断即可．【解答】解：由ba +ab>2，得(a−b)2ab>0，故ab>0且a≠b，故“ab>0“是“ba +ab>2”的必要不充分条件，故选B．4.答案：B解析：解：函数f(x)=lnx +ax 存在与直线2x −y =0平行的切线，即f′(x)=2在(0,+∞)上有解， 而f′(x)=1x +a ，即1x +a =2在(0,+∞)上有解，a =2−1x ，因为x >0，所以2−1x <2，当y =2x 为切线时，设切点为(m,n)，可得2=1m +a ，又2m =lnm +am ，解得m =e ，a =2−1e ， 所以a 的取值范围是(−∞,2−1e )∪(2−1e ,2)． 故选B ．问题等价于f′(x)=2在(0,+∞)上有解，分离出参数a ，转化为求函数值域问题即可． 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意体会转化思想在本题中的应用．5.答案：B解析：解：由c <b <a 且ac <0，可知：c <0，a >0，b 为任意实数， 当b =0时，cb 2<ab 2不成立． 故选：B ．先根据c <a ，且ac <0，得出a ，c 的符号，进而判断出b 为任意实数，利用不等式的基本性质即可得到结果．本小题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6.答案：D解析： 【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形计算中的应用，属于基础题．由A =2C 可得sinA =2sinCcosC ，利用正余弦定理得到关于a ，b 的方程，再结合a 2=4b −4，即可求出a 的值． 【解答】 解：∵A =2C ，∴sinA =sin2C ，即sinA =2sinCcosC ， ∴a =2c ·a 2+b 2−c 22ab，又c =2，∴a 2b =2(a 2+b 2)−8，由{a 2b =2(a 2+b 2)−8a 2=4b −4，解得{a =2b =2，或{a =2√3b =4，∵A =2C ，∴a >c ， ∴a =2√3， 故选D ．7.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法以及函数的单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．利用函数的值域范围，结合分段函数求解最值，推出结果即可． 【解答】解：函数f (x )={(a −1)x +4−2a,x <11+log 2x,x ≥1, 当x ≥1时，f(x)=1+log 2x ≥1，当x <1时，f(x)=(a −1)x +4−2a 必须是增函数， 最大值大于等于1，才能满足f(x)的值域为R ， 可得{a −1>0a −1+4−2a ≥1，解得a ∈(1,2]．故选：A ．8.答案：B解析： 【分析】本题考查组合数公式，属于基础题．根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，15个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有C 82=8×72=28种不同的放法，即有28个不同的符合题意的放法． 故选B ．9.答案：D解析： 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的T ，i 值，当i =6时，程序终止即可得到结论． 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 【解答】解：执行程序框图，a =2，T =0，i =1，满足条件i ≤5，执行循环，T =0+2×2=4，a =1，i =2； 满足条件i ≤5，执行循环，T =4+1×4=8，a =0，i =3； 满足条件i ≤5，执行循环，T =8+0×8=8，a =−1，i =4； 满足条件i ≤5，执行循环，T =8−1×16=−8，a =−2，i =5； 满足条件i ≤5，执行循环，T =−8−2×32=−72，a =−3，i =6； 此时，不满足条件i ≤5，退出循环.输出T 的值为−72. 故选D ．10.答案：B解析： 【分析】本题考查椭圆的性质和几何意义，属中档题．利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D 的横坐标，再由点D 在椭圆上建立关于a 、c 的方程，解方程求出ca 的值． 【解答】解：不妨取椭圆焦点为右焦点，如图：，BF =√b 2+c 2=a ， 作DD 1⊥y 轴于点D 1， 易知△BOF∽△BD 1D ， 又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 得：|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BF⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23， 可得D (32c,−b2) 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，将D 点代入可得a 2=3c 2， 解得e =c a=√33． 故选B ．11.答案：A解析： 【分析】本题考查利用定积分求面积，属于中档题．先根据题意画出直线y =x +1及y =cosx 与x 轴所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式． 【解答】解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积．故选A .12.答案：D解析：【分析】本题考查数列的递推关系以及等比数列的性质，根据数列的递推关系，可求出a n =4·5n 则a 2=100，a 3=500.又a 1，a 2，a 3成等比数列，根据等比数列的性质求出a 的值．【解答】解：当n =1时，a 1=S 1=52+a ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(5n+1+a)−(5n +a)=4·5n ， 则a 2=100，a 3=500． 又a 1，a 2，a 3成等比数列，则a 22=a 1a 3，即1002=(25+a)·500，解得a =−5， 故选D ．13.答案：60解析：解：通项公式T r+1=∁6r (2√x)6−r (−1√x 4)r =(−1)r 26−r ∁6r x3−3r4， 令3−3r 4=0，解得r =4．∴常数项是22∁64=60． 故答案为：60． 利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：∵S 10S 5=4，∴10a 1+10×92d =4×(5a 1+5×42d)，化为：2a 1=d ≠0． 则4a 1d=2．故答案为：2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：√105解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2BC =2， 直线DC 1与平面ABCD 所成的角为45°， ∴∠C 1DC =45°，∴DC =CC 1=2， ∴A(1,0，0)，D 1(0,0，2)，D(0,0，0)，C 1(0,2，2)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)， 设异面直线AD 1与DC 1所成角为θ， 则cosθ=|cos <AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5⋅8=√105． ∴异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值为√105．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．16.答案：3√24解析：设P(x,b3a x)，则由题意，知c =|x |.因为PF 1垂直于x 轴，则由双曲线的通径公式知|b 3ax|=b 2a，即b3ac =b 2a，所以b =c3.又由a 2=c2−b2，得a 2=89c 2，所以e =c a=3√24． 17.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵2bcosB =acosC +ccosA ，∴可得：2sinBcosB =sinAcosC +sinCcosA =sinB ， ∵sinB ≠0，∴cosB =12，由B ∈(0,π)，可得：B =π3． (Ⅱ)∵b =2，B =π3，∴由余弦定理可得ac =a 2+c 2−4，∴由基本不等式可得ac =a 2+c 2−4≥2ac −4，可得：ac ≤4，当且仅当a =c 时，“=”成立， ∴从而S △ABC =12acsinB ≤12×4×√32=√3．故△ABC 面积的最大值为√3．解析：(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB =sinB ，结合sinB ≠0，可求cos B 的值，进而可求B 的值．(Ⅱ)由余弦定理，基本不等式可得：ac ≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC 面积的最大值． 本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：因为AE ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴AE ⊥BM ，又因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点， ∴AC ⊥BM ，又∵AE ∩AC =A ，AE ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE ， ∴BM ⊥平面ACE ， 又∵CE ⊂平面ACE ， ∴BM ⊥CE ；(Ⅱ)解：取CE 的中点F ，连接MF ， 所以MF 是△ACE 的中位线，所以MF//AE ， 所以MF ⊥平面ABC ，所以MA 、MB 、MF 两两垂直，以M 为坐标原点，MA 、MB 、MF 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，则M(0,0，0)，E(1,0，2)，D(0,√3,1)，C(−1,0，，0)， 所以ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,1)． 设平面CDE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{2x +2z =0x +√3y +z =0， 令x =1，得n →=(1,0,−1)， 所以|n ⃗ |=√12+0+(−1)2=√2， 设直线ME 与平面CDE 所成角为θ， 则，所以直线ME 与平面CDE 所成角的正弦值为√1010．解析：本题考查线线垂直的证明，线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．(Ⅰ)推导出AE ⊥BM ，AC ⊥BM ，由此能证明BM ⊥平面ACE ，再由线面垂直的性质可得结论；(Ⅱ)取CE 的中点F ，连接MF ，以M 为坐标原点，MA 、MB 、MF 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ME 与平面CDE 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)因为抛物线y 2=4√3x 的焦点为(√3,0)，则c =√3，所以a 2−b 2=3.(2分)因为直线bx −ay =0与圆(x −5)2+y 2=5相切， 则22=√5，即a 2=4b 2.(4分) 解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程是x 24+y 2=1.(5分)(2)设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 将直线l 的方程代入椭圆方程，得x 2+4(kx +m)2=4， 即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 则x 1+x 2=−8km 4k +1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1.(7分)由已知，k 2=k 1k 2=y 1y2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2，则k 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)， 即km(x 1+x 2)+m 2=0，所以−8k 2m 24k 2+1+m 2=0，即(1−4k 2)m 2=0．因为m ≠0，则k 2=14，即k =±12，从而x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2−2.(10分)所以|OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+(kx 1+m)2+x 22+(kx 2+m)2 =(k 2+1)(x 12+x 22)+2km(x 1+x 2)+2m 2=(k 2+1)[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+2km(x 1+x 2)+2m 2． =54[4m 2−2(2m 2−2)]−2m 2+2m 2=5为定值．(12分)解析：(1)由抛物线y 2=4√3x 的焦点为(√3,0)，得a 2−b 2=3.由直线bx −ay =0与圆(x −5)2+y 2=5相切，得a 2=4b 2.由此能求出椭圆C 的方程．(2)设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出|OA|2+|OB|2为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查两线段的平方和是否为定值的判断与求法，考查椭圆方程、直线方程、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.答案：解：(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A ，则P(A)=A 22A 62=115． (2)X 的所有可能取值为2，3，4，5． P(X =2)=115，P(X =3)=C 21C 41A 22A 53=215，P(X =4)=A 44A 54+C 21C 42A 33A 54=415，P(X=5)=C21C43A44A55+C43C21A44A55=815．X的分布列为因此，E(X)=2×15+3×215+4×415+5×815=6415．解析：本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与数学期望．(1)由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式求解概率值即可；(2)由题意可知X的所有可能取值为2，3，4，5，据此计算相应的概率值，求得分布列，然后求解数学期望即可．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).求导函数可得f′(x)=ax −x=−x2+ax．当a<0时，在区间(0,+∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)．当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a(舍)．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：综上所述，当a<0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a,+∞)．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：当a<0时，f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0．当a>0时，①当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0．②当√a>1，即a>1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以f(√a)>f(1)．又f(1)=0，所以f(√a)>0，与对于任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0矛盾．综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(−∞,0)∪(0,1]．解析：(Ⅰ)确定函数f(x)的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f(x)的单调区间；(Ⅱ)对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0，即使得对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a 的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，合理分类，属于中档题．22.答案：解：(1)射线l ：y =√3x(x ≥0)，转换为极坐标方程为：θ=π3(ρ≥0)． 曲线C 1的参数方程为{x =3cosαy =2sinα(α为参数)， 转换为直角坐标方程为：x 29+y 24=1;(2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4； 转换为极坐标方程为：ρ=4sinθ， 射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ， 设M ，N 的坐标分别为M(ρ1,θ),N(ρ2,θ),所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=|4sin π3−8sin π3|=2√3．解析：本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (2)先求出曲线C 2的极坐标方程，再利用极径的定义和射线l 的极坐标方程求出|MN|．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x −a|−2.若a =1，不等式f(x)+|2x −3|>0，化为：|x −1|+|2x −3|>2． 当x ≥32时，3x >6.解得x >2，当x ∈(1,32)时，可得−x +2>2，不等式无解； 当x ≤1时，不等式化为：4−3x >2，解得x <23， 不等式的解集为：(−∞,23)∪(2,+∞)； (Ⅱ)关于x 的不等式f(x)<|x −3|恒成立， 可得|x −a|−2<|x −3|， 设f(x)=|x −a|−|x −3|， 因为|x −a|−|x −3|≤|a −3|， 所以f(x)max =|a −3|， 即：|a −3|<2，所以a 的取值范围为(1,5)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)可得|x−a|−2<|x−3|，设f(x)=|x−a|−|x−3|，求出f(x)的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．。