光子学报ACTA PHOTONICA SINICA1999年第28卷第2期Vol.28No.21999用自聚焦透镜作平行光束与单模光纤的最佳耦合高应俊姚胜利高凤摘要本文提出一种用两片自聚焦透镜组合而成的耦合系统，可以实现平行光束与单模光纤的最佳耦合.文中给出了该耦合系统的参数计算公式，并进行了计算机数字式计算，最后推导给出了最佳结构参数计算的解析公式.表明给出的耦合系统具有唯一最佳结构参数解，并且这种解具有和谐的对称性.关键词耦合；自聚焦透镜；单模光纤OPTIMIZED COUPLING OF GRADIENT INDEX ROD LENSES WITH SINGLE MODE FIBERGaoYingjun,YaoShengli,GaoFengXi′an Institute of Optics and Precision Mechanics,Xi′an,China710068Abstract A coupling system composed of two-pieces of gradient index rod lenses is developed to achieve optimized coupling between a collimating light beam and a single mode fiber.The calculating expressions for the construction parameters of the coupling system are given,and the digital computing by using computer was carried out,the analytical formula for obtaining the optimized construction parameters were derived.The formula show that the best solution for the coustruction parameters is exist and unique,and is harmonic and symmetric.Keywords Coupling;Gradient index rod lens;Single mode fiber0 引言在光纤的使用实践中，经常需要解决光束与单模光纤(single Mode Fiber,SMF)的高效耦合问题.自聚焦透镜(Gradient Index RodLens,GRIN or Selfoc Lens)由于其优越的小体积、平端面、易加工、易调整对准、易耦合组装、耦合效率高，而特别地受到重用.然而单片自聚焦透镜由于其确定的性能参数，难以同时满足单模光纤的小芯径(约8～10μm)和小数值孔径(一般为0.11)要求.本文提出一种新的变折射率光学耦合系统设计，即两片式自聚焦棒透镜构成的耦合系统.对这种耦合系统提出的要求是，首先要圆满保证单模光纤特征参数的要求，希望因而获得最大耦合效率；其次要使其结构尽可能地紧凑、体积尽可能地小.本文根据自聚焦透镜的光线传输轨迹，给出了理论设计计算公式；然后由这些计算公式用计算机编程计算给出了最佳结构参数的近似值；按着又从理论计算公式，最后推导得出了最佳结构参数的解析计算公式.这些公式表明用本文提出的耦合系统可以求得最佳结构参数，并且这些参数表现出结构的对称性、和谐性.1 设计原理我们知道，变折射率棒透镜或称自聚焦透镜的材料折射率自棒轴至外圆是逐渐减小的，并且是轴对称的，因而一般将其折射率分布表示为1n2(r)＝n2(1－g2r2)(1)式中n为棒轴上的折射率，g为表示折射率变化快慢的特征参数.由式(1)得到的光线在自聚焦棒透镜子午平面内的传输轨迹为1r＝r0cosωz＋(p/ng)sinωz(2a)p＝p0cosωz－rngsinωz(2b)式中ω＝n0g/l，r为光线的初始入射点坐标，p、l分别为光线的第一、第二初始光学方向余弦.自聚焦透镜的数值孔径为1(3)式中a为自聚焦透径的半径.由式(3)可知，自聚焦透镜的数值孔径自中心至边缘不是常值，中心轴上最大，边缘点处为零.目前的自聚焦透镜有小、中、大、超大几种数值孔径规格，分别为NA＝0.17、0.37、0.45、0.65.如果以自聚焦棒透镜作平行光束与单光纤的耦合，比如说采用1/4节距长的单透镜，虽然平行光束经该透镜后会聚为很小的光点，但在该处的数值孔径却远大于单模光纤的数值孔径(NAf＝0.11)；如果长度大于或小于1/4节距，使光束出射角与单模光纤的数值孔径匹配，这时的出射光束直径则远大于单模光纤的芯径(df＝8～10μm)，于是造成光能的外逸损失，虽然可以拉开一段距离，使会聚光束直径适应单模光纤的芯径，但这样作却使体积大大增大并在实践中使实施困难.因此，自聚焦棒单透镜系统是不可能获得满意的耦合效率要求的.本文提出解决这一困难的设计方案是：采用分离式两片自聚焦透镜的组合法来达到这一要求.这两片自聚焦棒透镜的基本性能参数可以是不同的，也可以是相同的.图1为这种两片式自聚焦棒透镜耦合系统的结构示意图.图1 两片式自聚焦棒透镜耦合系统作平行光束与单模光纤耦合示意图Fig.1 Schematic diagram of the coupling system using 2 pieces of GRIN lenses to couple parallel beams with single mode fiber图1中，GRIN1和GRIN2为两自聚焦棒透镜，长度分别用z1和z2表示，其间隔为zair，第二透镜后端面与单模光纤直接粘接耦合，这样易于组合在一起，工艺上容易实现.设上述GRIN1和GRIN2自聚焦棒透镜的折射率分布可用式(1)表示，它们的主要特征参数分别为n01、n02及g1和g2；单模光纤的数值孔径为NAf＝0.11.对于GRIN1透镜，由平行光束入射条件，极限边光出射后的光线高度r1及光学方向余弦p1，由式(2)为r1＝acosg1z1(4a)p 1＝－c1sing1z1(4b)式中a为GRIN1的半径，c1＝an01g1.对GRIN2透镜，逆光束前进方向求解之.即在GRIN2后端面轴上点处(r0＝0)，光线以初始方向余弦等于单模光纤的数值孔径(即p＝NAf＝pf)入射，则在端面的出射点r2及方向余弦p2分别为r2＝c2sing2z2(5a)p2＝pfcosg2z2(5b)式中c2＝pf/n02g2为使满足匹配耦合条件，应令｜p1｜＝｜p2｜，则可求解(4b)与(5b)联立的方程组，得出由z1表示的z2(或反之)，即(6)在图1中，由于θ一般不很大，则近似有tanθ＝sinθ＝p1(或p2)，于是由图中几何关系，可求得两自聚焦棒透镜的间距zairz air ＝(r1－r2)/tanθ≈(r1－r2)/｜p1｜(7)2 计算机计算结果由前面得到的设计结果式(6)和(7)，可以编计算机程序求解之.由式(6)、(7)可知，给定一个初始值z1，理论上总是可以求得z2和zair的，因此对一定范围任意的z1(z1应小于1/4节距长度)，可以有很多种长度不同的z1、z2、zair组合方案.计算机求解的目的就是采用逼近尝试法寻找最短的zair，即最小体积、最小耦合系统长度的结构参数.图2为计算机编程框图.即首先给z1一个很小的起始初值，由式(6)求出z2，再由式(7)求出zair；然后给z1一个很小的增量Δz，求得新的z air ；如此循环直到两次z air 的差的绝对值小于某一给定小值，则以最后的z air 为满意的最佳耦合系统结构参数.图2 计算机计算程序框图 Fig.2 Computer program diagram表1是经计算机计算给出的几种组合结果，其中采用了西安光机所目前典型的几种自聚焦透镜的参数.由表中可以看出，在给定步长造成的误差下，两种透镜前置或后置给出完全相对称的结构参数；其次，若采用同一种两片自聚焦棒透镜组合，得到其镜长(或厚度)相等的结果，这也是前述对称性的体现.表1 计算机给出的几种自聚焦棒透镜耦合系统结构参数表3 耦合系统结构的解析计算式事实上，耦合系统最佳结构参数的确定，可以由式(7)解析求得.为便于运算求解，设Z1＝g1z1，Z2＝g2z2，则可将式(7)写为(8)则(9)令dZair /dZ1＝0，显然上式中cscZ1＝0不成立，因此应令式(9)中的圆括号因子为零，即(10)求解方程(10)，可得(11)即当Z1取式(11)所给的值时，有最小结构尺寸Zair.代入式(6)可求得另一透镜的结构参数Z2(12)再由式(8)得Zair(13)代回式(11)、(12)、(13)中的Z1＝g1z1、Z2＝g2z2、c1＝an01g1、c2＝pf/(n02g2)，最后得(14)(15)(16)由上述几个解析式可以看出，对于给定性能参数(g、n)的自聚焦棒透镜及单模光纤的数值孔径(pf ＝NAf)，这种耦合系统存在有最佳耦合结构参数的唯一解，这种耦合系统最终给出最高的耦合效率、最小的几何结构尺寸、最理想的实际耦合系统的组成方式.同时，由式(15)和(16)可以看出，它们给出的z1和z2表示式是完全对称的.这也说明了计算机计算结果的正确性.事实上，我们用式(14)、(15)、(16)进行了计算，给出的结果与前面计算机给出的数字近似值表1中的结果完全符合.应当指出，本文给出的分析方法和计算公式，是基于高斯光学即几何光学导出的.当满足了本文所述的最佳耦合条件后，还要注意最大可能地减小所给耦合系统的象差以及衍射效应的影响，以获得最终的更满意的耦合效果.GaoYingjun Associate professor,was born in Shaanxiprovince,China in September 18,1946.He graduated from Math and Physics Department,Jiaotong University in 1970 and got his M.Sc in fiber optics in Xi′an Institute of Optics and Precision Mechanics in 1982.His current interest is in optical engineering,microoptics,fiber optics and integrated optics.作者单位：中国科学院西安光学精密机械研究所，西安710068。