迹。
1 2
,
1 4
4
，则求椭圆的方程。
A
10
解 设 Ax1,y1、 Bx2,y2 ，则
x1x2
1,y1y2
1 2
，且
x12 y12 1 a2 b2
，（1）
x22 y22 1 a2 b2
，（2）
1
2
得：x12 x22 y12 y22
a2
b2
y1y2 b2x1x2b21 x1x2 a2y1y2 a2 1
运用点差法巧解圆锥曲线的 中点弦问题
高中数学教师欧阳文丰制作
A
1
、
导言
圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵 活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆锥 曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧，简 便易行的优点。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 A(x1, y1)
oM
A（xx1 , y1）
A
3
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程. 二、例题讲解
解法一：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理A及中点坐标公式来构造
4
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 二、例题讲解
x
2 1
x12
4
y12 2
1 相减
x22 4
y22 2
1
y1y2 x1x2
12
x1x2 y1y2
1 2
xN yN
1
y
即 kCD1，
此 时 直 线 l的 方 程 为 ： y1x1
2
即 y x 1 ， 代 入 双 曲 线 方 程 并 整 理 ， 得 2
2
2x24x90
2
M
o
..N
2
x
2
Q V 1 6 4 2 9 5 6 0
y
y1
yx1
y2
x02
3x y
由
x y2
75
y x2
25
0弦1，中点得的P(轨5迹23方,A5程23为) Q：(x5 23y,502(3) 523x5923)
二、例题讲解
例，4有已一条知倾椭斜圆角ax为22 by22的1直a线b交0椭的圆一于条A准、线B两方点程，是若xAB的1
中点为C
注：凡关于中点弦和弦中点的问题，可采用点差法求解。
A
12
三、变式练习
【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)．
∵P1，P2 在抛物线上，∴y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋ y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2， ∴k＝yx11－ －yx22＝y1＋6 y2＝3，
x12 4
y12 2
1
x22 4
y22 2
1
相减
y1y2 x1x2
12
x1x2 y1y2
kAB
1 2
xM yM
1 2
即
kA
B
1 2
，
2
2
M
o..N2x Nhomakorabea2
点差法
直线AB的方程为y：112A(x1) 即x2y10. 7
二、例题讲解
(2)假设 N的 过直线交 C(x1， 双 y1)， D 曲 (x2， y线 2)， 于 则
∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)，即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－，11， 得 y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝
1＋19
22－4×－22＝2
230 3.
A
13
课堂小结
1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明 快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明 显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利 于培养学生的解题能力和解题兴趣。
x
2 2
4 4
y
2 1
y
2 2
16 16
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构
造出中点坐标和斜率． A
5
小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法
1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决. 2.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解
因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.
B(x2, y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到
一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。 我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
A
2
一.问题引入
过椭圆 x2 y2 1内一点 M(2,1) 引一 16 4
条弦，使弦被点 M平分，求这条弦所在
直线的方程．
y
B（x2 , y2）
直线l 与双曲线没有交点
以N(1，12)为弦的中点的A直线 在不 . 存
8
二、例题讲解
例3、已知椭圆 y2 x2 1 ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
75 25
解：设弦端点 P(x1, y1) Q(x2, y2) ，弦PQ 的中点 M(x, y)，则
、
，
x1x2 2x y1y2 2y
又
y12 75
A
6
例2 已 知 双 曲 线 方 程 ： x2y21二、例题讲解 42 （1）过M （1， 1）的直线交双曲线于A、B两点，
若M为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）是否存在直线l，使N1，12为l被双曲线所截弦 y的中点， 若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由。
解： 设 A (x1， y1)， B(x2， y2)，(则 x1 x2)
x12 25
1，
y2 2 75
x22 25
1
两式相减得 2 ( y 1 5 y 2 ) y 1 ( y 2 ) 7 ( x 1 5 x 2 ) x 1 ( x 2 ) 0
即 y (y 1 y 2 ) 3 x (x 1 x 2 ) 0，即
k y1 y2 3 x1 x2
3 x 3 ，即 x
2.弦中点问题的两种处理方法
（1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理；
（2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率 和弦的中点坐标（点差法）。
A
14
作业：
已知椭圆x2+2y2=2,
(1)求被点P（
1 2
,
1 2
）平分的弦所在直线方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹。
(3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨
2
，
1kAB
y1 y2 x1 x2
2b2
a2
a2 2b2 （3）
a 2 1 a2 c ，（4）
c
，
a2 b2 c2 ，（，5）由（3），（4），（5）可得
，
.
a2 1 ,b2 1
，2
4
所求椭圆方程为
x2 y2
1
1 A2
1 4
二、例题讲解11
三、变式练习
2．已知抛物线 y2＝6x，过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰好被 点 P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.