§1.4《数据的数字特征》教学案
一、教学背景分析
在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。

(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。

)在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。

二、教学目标
1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

三、教学重、难点
教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

四、设计思路
(1)、教法构想
本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。

(2)学法指导
学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。

五、教学实施
导入新课
提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。

工作人员由五个领工和十个工人组成。

工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。

小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周3 00元。

你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。

”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。

”工资表如下：
这到底是怎么了？(学生思考交流) 教师点出课题：数据的数字特征 推进新课 Ⅰ、新知探究 提出问题
1、 什么叫平均数？有什么意义？
2、 什么叫中位数？有什么意义？
3、 什么叫众数？有什么 意义？
4、 什么叫极差？有什么意义？
5、 什么叫方差？有什么意义？
6、 什么叫标准差？有什么意义？ 讨论结果：
1、 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数数据12,,,n x x x 的平
均数为12n
x x x x n
++
+=。

平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数 据的平均水
平。

2、 一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数。

一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的 集中趋势。

3、 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。

一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势。

4、 一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。

5、 方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用2s 表示，通常用公式
2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+
+-来计算。

反映了数据的离散程度。

方差越大，
数据的离散程度越大。

方差越小数据的离散程度越小。

6、 标准差等于方差的正的平方根，即s 数据
围绕平均数的波动程度的大小。

Ⅱ、应用示例
例1 某公司员工的月工资情况如表所示：
((2) 公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
解：(1)经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元。

(2)
公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的员工最多。

点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用。

变式训练
1、 下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：
(1)
用含x ，y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ； (2)
若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求,x y 的值。

解：(1)3559
40
x y f ++=
；
(2)依题意，有
3541
11{
x y x y +=+=解得74
{
x y ==
例2 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm 的零件。

为了检验产品质量，从两台机床生
产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示
解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值
==
x x mm
40()。

乙
甲
我们分别计算它们直径的标准差：
=
s mm
0.161()
甲
=+-=
(39.90.077()
s mm
乙
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些。

点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度。

Ⅲ、知能训练
1、
下列说法正确的是(D )
A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样。

B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好。

C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好。

D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好。

2、(2007海南高考，理11)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩：
丙的成绩：
123s s 、分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差，则有(C )
A .123s s s >>
B .312s s s >>
C .213s s s >>
D .231s s s >>
3、某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 -3
Ⅳ、拓展提升
甲、乙两种玉米苗各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm )
解：(1)30()x cm =甲，31()x cm =乙 x x ∴<乙甲，即乙种玉米的苗长得高。

(2)
222222
104.2(),128.8()
s cm s cm s
s ==∴<乙甲乙
甲
即甲种玉米的苗长得齐。

Ⅴ、课堂小结
本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用，让学生体会所学内容与现实世界的密切联系。

Ⅵ、作业
课本30—31页 习题1—4 1、2。

六、板书设计
§4数据的数字特征 3、应用示例 4、知能训练 1、问题提出 例1 5、拓展提升 2、数字特征的定义 例2
与意义 变式训练 6、小 结
七、设计体会
统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习。

因此在本节教学设计中所采用的数据和问题情境尽可能来源于实际，充分挖掘学生生活中与数据有关的素材，使他们体会所学内容与现实世界的密切联系。

另外，在教学活动中，还要特别加强小组活动的组织与教学，并在活动的过程中引导学生逐步体会统计的作用和基本思想。