Q I2RT
Q T i2R dt 0
I 2RT T i2R dt 0
I 1 T i2dt T0
U 1 T u2dt T0
正弦量的有效值
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2 tdt
I
2 m
T 1 cos2t
)
4.33mA
3.1.2 相位差
两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“φ” 表示。
u1 U m1 sin(t 1) u2 U m2 sin(t 2 )
相位差:
12 (t 1) (t 2 ) 1 2
当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们之间 的初相也随之改变，但二者的相位差却保持不变。
第3章 正弦交流电路
3.1 正弦量的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 电容元件和电感元件 3.4 三种元件伏安特性的相量形式 3.5 基尔霍夫定律的相量形式 3.6 RLC串联的交流电路 3.7 RLC并联电路 3.8 用相量法分析正弦交流电路 3.9 正弦交流电路中的功率 3.10 正弦交流电路中的最大功率
例 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所示,
试写出正弦量的解析式。
解
u1
200sin(t
3
)V
u2
250sin(t
6
)V
u/V
250
u2
200 u1
0
3
6
2
t
例 3-1 图3-1-4给出正弦电压uab和正弦电流iab的波形。(1) 写出uab和iab的解析式并求出它们在t=100ms时的值。(2)写 出iab的解析式并求出t=100ms时的值。
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
(a)
(b)
(c)
(d)
几种不同计时起点的正弦电流波形
例 在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解析式为 u=200sin (1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个 正弦量的三要素。
2. 周期和频率
正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T”
表示，单位为秒(s)。正弦量每秒钟变化的周数称为频
率，用“f ” 表示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成
f 1 T
3.相位、角频率和初相
ωt+φ－－－相位角
在不同的瞬间，正弦量有着不同的相位，因而 有着不同的状态。相位的单位一般为弧度(rad)。
下面分别加以讨论：
(1)φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度 (2) φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度
(3) φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相
(4) φ12=θ1-θ2=π, 称这两个正弦量反相 (5) φ12=θ1-θ2=π/2, 称这两个正弦量正交
同频率正弦量的几种相位关系
由波形可知电压和电流的最大值分别为300mV和5mA，频 率都为1kHz，角频率为2000πrad/s，初相分别为π/6和π/3， 它们的解析式分别为:
(1)T =100ms时，
uab
(t)
300sin(2000πt
π 6 )mV,iab
(t)
5sin(2000πt
π 3
)mV
uab (0.1)
解 (1) u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V
所以电压的振幅值Um=200V, 角频率ω=1000rad/s, 初相θu=160°。
(2) i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)
=5sin(314t-150°)A
所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相θi=-150°。
3.1 正弦量的基本概念
3.1.1 正弦交流电的三要素
按正弦规律变化的交流电动势、交流电压、交流电流等物理量统称为 正弦量，如图3-1-1所示。
以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的 一般解析函数式为
i(t) Im sin(t )
1. 正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。
用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
300sin(2000π 0.1
π) 6
300sin
π 6
150mV
iab (0.1)
5sin(2000π 0.1
π) 3
5 s in
π 3
4.33m
(2)当t＝100ms时
iba
(t)
iab
5sin(2000πt
π 3
π)
5sin(2000πt
2π 3
)mA
iba
(0.1)
5sin(
2π 3
角频率－－－相位角变化的速度。 单位：rad/s或1/s。
相位变化2πrad，经历一个周期T，那么
2π T
2πf
与f成正比
当φ=0时，正弦波的零点就是计时起点 当φ>0，正弦波零点在计时起点之左，其波形相对于φ=0的 左移φ角，
当φ<0，正弦波零点在计时起点之右，其波形相对于φ=0的 波形右移|φ|角，
(b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。
(c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。
(d) 由图知θ1=0,
前于 i2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
2
3
4
,12
1
2
3
4
,
表明i1越
3.1.3
有效值的定义
交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应 确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量 和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相 等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写 字母表示, 如I、 U等。
例 分别写出下图中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1 与i2
i
i1
i2
3
2
2
2
0
t
i i1
i2
0
2
3
2 t
2
＝
(a)
(b)
i
i1
i2
i
i1
i2
3 2 t
2
2
(c)
3 2
t
2
2
3 4
(d)
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明i1滞后 于i2 90°。
例题:已知: u 220 2 sin(t 235)V , i 10 2 sin(t 45)A 求u和i的初相及两者间的相位关系。
解 : u 220 2 sin(t 235)V 220 2 sin(t 125)V
所以电压u的初相角为125,电流i的初相角为45
ui u i 125 45 170 0 表明电压u滞后电流170。