实变函数期末考试模拟试题
一、定义或名词解释。

1、定义集合的外测度及集合的测度；
2、定义可测函数与简单函数；
3、Lebesgue可积的定义（提示a，b，c，d 共4点）；
4、解释距离空间、线性空间、线性赋范空间；
5、解释符号：f属于C C（R）、f属于R（D）。

6、写出叶果罗夫定理及鲁津定理。

二、计算及定理证明：
1、设E可测，f在E非负可测。

那么，存在非负简单函数ψk，k是正整数。

st 对任意的k，任意的x有：
0≤ψk(x)≤ψk+1(x),且lim
k→∞
ψk(x)＝ｆ（ｘ）。

2、设E可测，k是正整数，ψk在E可测。

令g=sup{ψk：k正整数}，
h=inf{ψk：k正整数}。

证明：g，h，lim
k→∞supψk(x)，lim
k→∞
infψk(x)均
可测。

3、设a属于R。

f属于L（R）。

且f（a）=0，f’(a）属于R，那么
f（x）
｜x−a｜
属于L（R）.
4.问当P为实数何值时，lim
k→∞∫xdx
1+x p sin2
k
收敛。