判断非正弦周期波的谐波成分。
奇函数（原点对称）
奇函数（原点对称）
ftft
奇函数的波形的特点：对称于坐标原点
i(t)
Im
T
T 2
2
t
0
在一个 周期内的积分
为零
当 f t是奇函数时，ftcok st也是一个奇函数，因而有：
1T
A0 f(t)dt0
T0
AK2 Tf(t)cok stdt0 奇函数的傅里叶
-
2
0
u0
wt
(a)
(b)
正弦 交流电
两信号 叠加后的
波形
电路中存在 非线性元件，也产生非正弦的周期信号
非线性元 件二极管
+ u -
(a)
i
+
R uR
-
电源电压 波形
u
i
0T
T
2
(b)
t0
整流后电 流波形
t (c)
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§6-2 非正弦周期信号的分解
不同频率正弦波的合成
例：已知两个正弦电压u1 Umsi nt 和 u3Um3si3 nt
试作出 uu1 u3 的波形。
u
u u1
u3
0
wt
非正弦周期波的分解
综上所述，几个频率不同的正弦波之和是一个非正弦周 期波，那么反过来,一个非正弦周期波可以分解成几个不同 频率的正弦波之和
由数学知识可知，如果一个函数是周期性的，且满足狄 里赫利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅里叶级 数。电工技术中所遇到的周期函数f(t)一般都能满足这个条 件，因而可以分解为下列的傅里叶级数。
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§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
把周期函数分解成傅里叶级数时，并不一 定包含所有谐波项。有的只包含有正弦项， 有的只包含有余弦项。这是因为周期函数 具有对称性。电工技术中遇到的周期函数 的波形往往具有某种对称性，利用函数的 对称性，不仅可使系数的计算过程得以简 化，更重要的是可以根据波形的对称性来
A0 1 T
T
2 T
f
(
t
)
d
t
2
AK 4
T
2f(t)coskdω t t
偶函数的傅里叶
T0
级数中将包含直
BK
2
T
Tf(t)sindktω 0 t
0
流分量且只有余 弦项，不含正弦
项
f(t)A0 Akcoskωt
k1
奇谐波函数（镜对称）
奇谐波函数（镜对称）
ftftT/ 2
奇函数的波形的特点：在任一周期内把第二个
半波的波形向前移动半个周期。就会与第一个
半波对称于横轴，二者互为镜像
在一个
周期内波形前移半
f (t)
周期波形相对于t轴
镜相对称
T 2
T
t
0
当 f t是奇函数时，ftcok st也是一个奇函数，因而有：
A0
1
T
f(t)d0t
T0
AK 2
T
f(t)coskdω t t
T0
不含直流分量和
BK 2
T0.2ms0.00s02
2 23.1r4as d31r4a0 sd0
T 0.0002
Im 10A
查表6-1并计算得：（表6-1见教材）
i 5 3 . 1 s3 8 it n 1 1 . 5 s 4 6 9 it 0 n 2 1 . 0 s 0 8 9 6 it 0 n 4 A 0 200
T0
级数中将不含直
4
BK
T
2 f(t)sinktdt
T0
流分量和余弦项， 只含正弦项
f(t)Bksinkt k1
偶函数（纵轴对称 ）
奇函数（纵轴对称 ）
ftft
奇函数的波形的特点：对称于坐标纵轴
u(t)
um
T
2
0
T
t
在一个 周期内的积分 为2倍半周期
的积分
当 f t 是偶函数时，ftsik n t也是一个奇函数，因而有：
f(t)C0k1Cksin kw C数tk0在是 一非周正期弦内周的期平函
式中：C k
C0
A0
A
2 k
B
2 k
k arcty
Ak Bk
均值，是一个常数， 称为周期函数f(t)的 恒定分量（或直流 分量），也称为零
次谐波。
其余各项的频率是
第二项C1sin(ωt+Φ1),称为基 波分量或一次谐波，其周期 和频率与原函数f(t)相同。
f(t)A0A1cows tB1siw ntA2co2w s tB2si2 nwt AkcokswtBksiknwt
即： f(t)A 0 A kcoksw B tksiknw t k1
式中，ω=2π/T，T为f(t)的周期 ，K为正整数。上式中的 A0、AK及BK称为傅里叶系数
傅里叶系数的确定：
T
f(t)sinkdω t t
偶次谐波， 只含 奇次谐波
T0
f （t ） ( Akc o s kω BKsti n k ω t ） k1
K为奇数时 coks1,Bk4kU m
K为偶数时
coks1,Bk0
所以：u ( t) 4 U m (st i1 s n 3 itn 1 s5 itn 1 sk itn )
35
k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
i 10
0 0.2 0.4
t(ms)
解： 锯齿波电流的周期，角频率和最大值分别为：
直流分量为 0
A kT 20 Tu (t)co ktsdT 2 t 0 T 2U m co ktsdT 2 tT 2 T( U m )co ktsd0 t B kT 20 Tu (t)sik n tdT 2 t 0 T 2U m sik n tdT 2 t T 2 T( U m )sik n td2 tk U m(1co k)s
周期函数频率的整 数倍，称为高次谐
波
周期函数展开为傅里叶函数举例
例1：矩形周期波电压如图所示，求其傅立叶展级数：
u Um
0T
2
T
t
Um
解：图示矩形周期电压，在一个周期内的表达式为：
u(t) Um
0tT 2
u(t) Um
T t T 2
A 0T 10 T u (t)d tT 10 T 2U m d tT 1T 2 T ( U m )d t0
1T
12
A0T0f(t)d t 20f(w)d t(w)t
Ak
2T T0
f(t)cokswtdt12
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(w)tcoksw(tw d)t
2T
12
Bk
T0
f(t)sinkw
tdt
0
f(w)tsinkw(tw d)t
利用三角函数公式，将分解式中的同频率正弦项与余弦项合 并，则傅里叶级数还可以写成另一种形式：
第六章-非正弦周期信号电路
§6.1 非正弦周期信号及波形
常见的几种非正弦周期信号
u
方波
三角波
u
0
共同特点：0 其一t 它们都是周期波，
t
u
锯齿其波二它们非的正变弦化的规u 律都是
脉冲波
0
t
0
t
频率不同的正弦电源作用于同一电路时,也产生
直
非正弦的周期信号
流 电+
1
u
u1
U - u1= 0
u
U + u0= m1Sinwt