第一讲集合一、知识精点讲解 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A 的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。

2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若AB且BA，则称A等于B，记作A B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集：（1）
包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，称S中子集A的补集； 4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。

交集。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

第二讲函数概念与表示一、知识精点讲解 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f x 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y f x ，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f x | x∈A 叫做函数的值域。

注意：（1）“y f x ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y g x ”；（2）函数符号“y f x ”中的f x 表示与x对应的函数值，一个数，而不是f 乘x。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域是比较困难的
数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。

3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。

当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间：区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； 5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：AB”。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。

注意：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。

（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

6．常用的函数表示法：（1）解析法：（2）列表法：（3）图象法： 7．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 8．复合函数若y f u ，u g x ,x a，b ，u m,n ，那么y f[g x ]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g x 的值域。

第三讲函数的基本性质一、要点精讲 1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f x 定义域内的任意x都有f －x －f x ，则称f x 为奇函数；如果对于函数f x 定义域内的任意x都有f －x f x ，则称f x 为偶函数。

如果函数f x 不具有上述性质，则f x 不具有奇偶
性.如果函数同时具有上述两条性质，则f x 既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f －x 与f x 的关系；作出相应结论：若f －x f x 或 f －x －f x 0，则f x 是偶函数；若f －x －f x 或f －x ＋f x 0，则f x 是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇奇，奇奇偶，偶+偶偶，偶偶偶，奇偶奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y f x 的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 x2时，都有f x1 f x2 （f x1 f x2 ），那么就说f x 在区间D上是增函数（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 x2时，总有f x1 f x2 （2）如果函数y f x 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y f x 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y f x 的单调区间。

（3）设复合函数y f[g x ]，其中u g x , A是y f[g x ]定义域的某个区间，B是映射g : x→u g x 的象集：①若u g x 在 A上是增（或减）函数，y f u 在B上也是增（或减）函数，则函数y f[g x ]在A上是增函数；②若u g x 在A上是增（或减）函数，而y f u 在B上是减（或增）函数，则函数y f[g x ]在A上是减函数。

（4）
判断函数单调性的方法步骤：任取x1，x2∈D，且x1 x2；作差f x1 －f x2 ；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f x1 －f x2 的正负）；下结论（即指出函数f x 在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。

3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y f x 的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f x ≤M；②存在x0∈I，使得f x0 M。

那么，称M是函数y f x 的最大值。

最小值：一般地，设函数y f x 的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f x ≥M；②存在x0∈I，使得f x0 M。

那么，称M是函数y f x 的最大值。

注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f x0 M；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f x ≤M（f x ≥M）。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y f x 在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y f。