（一）行程问题三大类1、倍数类（以“行”定比） 例：甲、乙两车同时从A 地去B 地。

甲行全程的一半时，乙离B 地还有54km 。

当甲到达B 地时，乙已经行了全程的80%。

求A 、B 两地的路程是（ ）km 。

解析：首先可以列出一个关系： 甲行一半（21）， 乙行 ？ 甲行全程（1 ）， 乙行 80%由上、下来看，甲行全程是行一半的2倍，同理在相同时间内，乙行的路程也应该是2倍关系，可得？＝80%÷2＝40%，则剩1－40%＝60%，全程为54÷60%＝90km 。

2、行程问题正反比类（往返、相遇、追及）例：王师傅用3.2 小时在家和工厂之间往返了一次，去时每小时25 千米，返回时减速52，求他家到工厂相距多少千米？解析：往返类问题属于路程不变，首先能确定时间与速度的反比关系，并且依据题目能得出：去和回的速度比为5：（5－2）＝5：3，依据反比得出去和回的时间比为3份：5份。

路程 ＝速度×时间去： 不变 5 3份回： 不变 3 5份 1份＝3.2÷（3＋5）＝0.4（时）去的时间为：3×0.4＝1.2（时）路程：25×1.2＝30（千米） 3、行程问题份数类（一个到，一个未到）例：甲、乙两人从A 、B 两地相向而行，5小时相遇，相遇后，两人继续前行，甲又用了3小时到达B 地，此时乙离A 地还有18千米。

问：A 、B 两地相距多少千米？解析：甲5时乙5时A B乙3时甲3时①从后段路程来看，甲3时走的路程与乙5时走的路程一样，依据反比关系得甲速与乙速之比为5：3，②再从整体考虑，当甲走完全程5份的路程时，乙走完3份的路程。

则B离A地距离为5－3＝2份，1份＝18÷2＝9km，全程为5×9＝45km。

注：此类未变速问题可用一个小公式解决问题→路程＝剩余路÷（大数－小数）×大数，如上题可直接列式为18÷（5－3）×5＝45km，特别提醒，这种解法只限于未变速情况。

（二）盈亏问题三大类盈亏问题有三类，分别是盈亏问题，假设法问题，牛吃草问题。

三类问题本属独立问题，但解法大同小异，下面就三类问题的解题方式来区分异同，方便大家更好掌握三类问题。

首先确定一个关系→找差量：说法相同用“－”，说法不同用“＋”1、盈亏问题例：四年级二班少先队员参加学校搬砖劳动。

如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖。

这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？解析：①找2个差量：盈亏差＝7＋2＝9块，分配差＝5－4＝1块②盈亏差÷分配差＝每后面的字9 ÷ 1 ＝9（人）③以两句话算总量：一句：4×9＋7＝43块二句：5×9－2＝43块两句话答案一样，则确定结果正确。

2、假设法问题例：小明同学参加20道题的数学比赛，比赛规定：答对得5分，答错或没答倒扣2分。

小明同学的最后得分是72分。

问：小明答对了几道题？解析：①假设全答对，应该得分为20×5＝100分。

找2个差量：总量差＝100－72＝28分，分配差＝5＋2＝7分②总量差÷分配差＝假设之外的量28 ÷7 ＝4（错题）③作差求另一个量：20－14＝16（道）3、牛吃草问题例：有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天。

那么它可供14牛吃多少天？解析：①假设每头牛每天吃1份草，算出总量，12×25×1＝300份，24×10×1＝240份找2个差量：总量差＝12×25－24×10＝60，时间差＝25－10＝15天②总量差÷时间差＝单位长草量60 ÷15 ＝4（份）③以两句话算原有量：一句：300－25×4＝200份二句：240－10×4＝200份两句话答案一样，则确定结果正确。

④等量关系解题：总量＝原有量＋长草量14×天＝200 ＋4×天天＝20（三）三人相遇行程问题解法综合例：甲、乙从A地，丙从B地同时相向出发，速度分别是70米/分、60米/分、40米/分，丙遇到甲后2分钟遇到乙。

A、B两地相距多少米？解析：①四年级解法：先画出甲丙相遇时的线段图，如下一步：当甲丙相遇时，丙又经过2分钟与乙相遇，所以CD的距离为乙丙2分钟合走的路程，CD＝（60＋40）×2＝200米。

二步：这200米的路程若以甲、乙来分析，是甲、乙在相同时间行走后甲比乙多走了200米，这个时间也就是甲丙两人的相遇时间：时间＝200÷（70－60）＝20分，则A、B两地用甲丙相遇计算：（70＋40）×20＝2200米。

②五年级解法：设甲丙两人的相遇时间为t，则乙丙两人的相遇时间为2+t。

由甲丙相遇所行路程＝乙丙相遇所行路程列方程如下：=t+=⨯+tt得20⨯(+6070()240)40)(A、B两地相距：（70＋40）×20＝2200米③六年级解法：甲、丙两人合走路程与乙、丙两人合走路程一样，已知速度比为：（70＋40）：（60＋40）＝11：10，则以反比得时间比为10份：11份，1份＝2÷（11－10）＝2份，甲、丙相遇时间为10×2＝20分，路程为（70＋40）×20＝2200米。

（四）利润问题例：超市推出如下优惠：（1）一次性购物不超过100元，不享优惠。

（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折。

（3）一次性购物超过300元，一律八折。

两次购物分别付款80元、252元，若一次性购买应付多少元？解析：我们首先要求出的价钱是80元和252元所对应的原价分别是多少，然后再一次性购买整体打折。

①对80元：最低打折为100×0.9＝90元，所以80元不可能是打折的钱，原价确定为80元。

②对252元：原价范围在100~300元之间，打折后的对应价钱为100×0.9~300×0.9为90~270元之间，252元在这一范围，此时对应原价为252÷0.9＝280元。

此时：原来总价为80＋280＝360元，若一次性购买应按八折优惠，应付360×0.8＝288元。

若同学们就此以为288是最终答案，那么同学们就少考虑了一步，252元若在300元以上能否成立？若刚好300元，打折后为300×0.8＝240元，此时原价为252÷0.8＝315元。

这种情况原来总价为80＋315＝395元，一次性购买应付316元。

（五）行程问题最值例：A、B两地相距26千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。

问：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少时间？解析：先确定怎么样才能让时间最少。

设三人分别为甲、乙、丙，我们可让乙先走路，此时甲骑车载丙同时出发，走一段距离后，丙下车走路，甲立刻返回接乙然后一起去B地，并且甲载着乙与走路的丙一起同时到B地，这样能确保摩托车在行进的过程中，乙、丙两人一直在走，且乙走的路程与丙所走的路程一样。

解法如下：①步行：骑车＝5：50＝1：10②确定线段图： 5.4:12110:1=-，有两人走路，前后共2份。

③1份＝26÷（1＋4.5＋1）＝4km ，以乙计算：乙走的路程为1份＝4km ，用时4÷5＝0.8时，车载乙走的路程为4.5份＝22km ，用时22÷50＝0.44时，共用时0.8＋0.44＝1.24时。

（六）发车问题例：某出租车汽车停车站已停有6辆出租车。

第一辆车出发后，每隔4分钟就有一辆车开出，在第一辆车开出2分钟后，有一辆车进站，以后每隔6分钟就有一辆车回站，回站的车在原有的车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆。

问：第一辆出租车开出后，经过多少时间车站不能正点发车？解析：车站原有6辆，发车周期4分钟，回车周期6分钟，又在第一辆车开出2分钟后有一辆车进站。

发车的总时间比回车总时间多2分钟。

①解：回车x 辆，则发车x+6辆，当发车、回车用时相同时，则车站内无车，由此可得：4（x+6）=6x+2x=114×（11+6）=68分即68分钟时车站内正好无车，则再过4分钟才有回车68+4=72（分钟）时不能正点发车。

易得6辆车全部开出需要20分钟的时间，进而得到从第五辆车回站时就不能正点发车，以次可得最少时间。

②解：站内原有的6辆车全部开出用时4×（6-1）=20分钟此时站内又有出租车（20-2）÷6+1=4辆设再经过x 分钟站内无车。

446x x =+ x=48 48+20+4=72分钟 （七）时间问题例：李师傅要在下午3点上班，他临走时看屋里的时钟在十二点十分就停止了，他上好发条却忘记拨指针，匆忙走到工厂离上班还有十分钟。

夜里十一点下班，他马上离厂回家，回到家一看钟才九点整。

如果李师傅上班和下班在路上所用的时间相同，那么，他家的钟停了多少时间？（上发条时间略去不计）解析：李师傅从上班到下班共用时晚上9点－12点10分＝8小时50分，这个时间包括的是李师傅上班路上时间＋10分钟空余时间＋下班路上时间，而原本李师傅上班时间应该是晚上11点－下午3点＝8小时，实际比原本多50分钟，这50分钟是→（上班路上时间＋10分钟空余时间＋下班路上时间），可得上、下班路上的时间都是（50－10）÷2＝20分钟。

本来是下午3点上班，到厂离上班10分钟，再去掉路上的20分钟，确定为2点30出门，实际是12点10分出门，停了下午2点30－12点10分＝2时20分。

（八）工程问题周期类例：一项工程，甲单独做6小时完成，乙单独做10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每次一小时，那么需要几小时完成？解析：因6和10的最小公倍数为30，假设总量为30，则甲效率为5，乙的效率为3，按甲、乙，甲、乙的周期工作，可定每个周期为2小时，工作量为5＋3＝8，30÷8＝3…6，可得3个周期共3×2＝6小时即注入了24的工作量，还剩6的工作量继续由甲、乙各1小时继续完成，甲1小时能完成1×4＝4，还剩6－4＝2，交给乙只需2÷3＝32小时即可完成。

共用时间6＋1＋32＝327小时。

（九）还原问题例：一篓苹果分给甲、乙、丙3人，甲分得全部苹果的51加5个苹果，乙分得全部苹果的41加7个苹果，丙分得其余苹果的21，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的81。

这篓苹果有多少个？ 解析：此题若用普通量率对应方法，过程繁杂，我们可以用还原问题的方式解决问题。