导数的应用洛必达法则
1.设函数21)(ax x e x f x ---=.
(1) 若0=a ,求)(x f 的单调区间;
(2) 若当0≥x 时,0)(≥x f ,求实数a 的取值范围.
解:(1) 定义域为R ,当0=a 时,有题知x e x f x --=1)(,则1)('-=x
e x
f . 令0)('>x f ,得e x >;令0)('<x f ,得e x <
所以函数)(x f 的增区间为),(+∞e ,减区间为),(e -∞.
(2)①当0=x 时,00001)0(20≥=⨯---=a e f 成立. ②当0>x 时,当210)(x x e a x f x --≤⇔≥时,设)0(,1)(2>--=x x
x e x g x ,则4
42]2)2[(2)1()1()('x x e x x x x x e x e x g x x x ++-=⨯----= 设)0(,2)2()(>++-=x x e x x h x
,显然)(x h 在),0(+∞为增函数,所以 0)0()(=>h x h ,所以0)('>x g ,所以)(x g 在),0(+∞上为增函数 由洛必达法则得
2122
211)(000200lim lim lim lim ===-=--=→→→→e e x e x x e x g x x x x x x x 所以2
1)(>x g 因为)(x g a ≤在),0(+∞恒成立,所以21≤
a . 即实数a 的取值范围为]21,(-∞
2.设函数x e x f --=1)(.
(1) 证明:当1->x 时,1)(+≥
x x x f ; (2) 设当0≥x 时,1
)(+≤ax x x f ,求实数a 的取值范围. 解:(1) 证明: 当1->x 时,011)(≥--⇔+≥
x e x x x f x . 设)1(,1)(->--=x x e x g x ,则1)('-=x e x g .
令0)('>x g ,得0>x ;令0)('<x g ,得01<<-x .
则)(x g 在)0,1(-上为减函数,在),0(+∞为增函数.
则010)0()(0
min =--==e g x g 即0)(≥x g 在),1(+∞-恒成立.所以当1->x 时,1)(+≥
x x x f . (2)①当0=x 时,01)0(0=-=e f ,0100=+⨯a ,1
)(+≤ax x x f 成立. ②当0>x 时 1)若0<a 时,当a x 1->, 则01<+ax x ,则1
)(+≤ax x x f 不成立,不符合题意. 2)当0≥a 时,1
)(+≤ax x x f x xe e xe a x x x -+-≤⇔1时, 设x
xe e xe x g x x x -+-=1)(,则 2
2)1()1)(1()()('--++---=x x x x x x x e x xe e e xe x xe xe x g 0)
1(122222>-+-+-=x x x x e x e e e x 在),0(+∞恒成立 所以)(x g 在),0(+∞上为增函数
由洛必达法则得
x x x
x x x x x x x x x x x xe e xe e xe e xe x xe e xe x g ++=-+=-+-=→→→→211)(lim lim lim lim 0
000 2
10200000=⨯+⨯+=e e e e 因为)(x g a ≤在),0(+∞恒成立,所以21≤
a . 综上,210≤
≤a ,所以实数a 的取值范围为]21,0[。