• 边缘内部区域，c远离0，图像平滑； • 边缘附近，c近似为0，图像不再平滑。
u( x , y ,t n 1 ) u( x , y ,t n ) t(I 1 I 2 )
n n
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P-M算法对整幅图像作用
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各向异性扩散
• TV图像修复模型利用了图像正则性，易于 从噪声图像的解中反映真实图像的几何正 则性。其思想是将图像修复建模成一个能 量最小化问题，使得图像达到平滑状态。
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3000
第六组的工作
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总结
• 本小组对热传导方程、P-M模型和全变分方 程进行了学习和研究，并在此基础上运用 MATLAB实现了相应的算法。 • 热传导模型算法速度快，对于边缘的恢复差。 • 二阶全变分算法边缘修复较热传导图像要好， 图像整体质量和漏洞修复质量无法平衡。 • 四阶全变分算法边缘修复性最佳，同时在边 缘效果很好的前提下，图像整体质量也很高。 • 对于大块残缺图像，由于丢失信息过多，上 述方法修复效果不好。
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Applications of PDE-Based Inpainting
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Fourier’s Heat EquaTotal Variation Equation
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4-order Total Variation Equation
基于PDE的数字图像修复
第六组
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基于PDE的数字图像修复
• 各向同性修复
–热传导
• 各向异性修复
-- P-M算法 –二阶全变分 –四阶全变分
• 应用
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一、热传导模型
• 将图像修复类比于热传导过程，使图像缺损区周 围有效像素所包含的信息逐步向缺损区域传递。
u t
u( x ,t )
u t ( x , y ) u 0( x , y ) t u( x , y )
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整幅图像的热传导
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热传导方程修正
• 利用反向热传导将不需要修复的地方恢 复，反复迭代从而达到修复漏洞的效果。
u t u t- 1 t u (u 0 u t- 1 )
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热传导图像修复
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热传导图像修复的缺陷
• 热传导作为标准的多尺度图像处理模型，被广泛的采 纳和应用，但是由于它是各向同性的，对于图像纹理 的恢复效果不好。
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各向异性扩散
• Perona-Malik算法
u t (c( x , y ,t ) u )
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二阶全变分修复结果
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二阶全变分修复结果
• 问题：总体扩散速度十分缓慢。
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二阶全变分图像修复的缺陷
• TV修补模型会产生连通性问题。
• 解决方法：高阶全变分。
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四阶全变分
• 通过四阶全变分考虑两个边界条件，即 除了漏洞周围的像素信息之外还加上了 漏洞周围的梯度信息。
ut (
1 u u u )
• 扩散因子 的引入使得漏洞周围像 素能扩散到漏洞以内。
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二阶全变分图像修复
• 最小化问题：
min I (u )


u dxdy
• 拉格朗日乘子解算 u ut ( ) - ( u u 0 ) u
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0
u i ,j u i ,j
n
n
))
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二阶全变分数值实现
u
n 1 i ,j
u
n i ,j
t (u
n i ,j
u i ,j ) t( (
0
u i ,j u
n i ,j
n
))
• 第2项为数据保真项，它主要起保留原图像特性和降低 图像失真度的作用； • 第3项为正则化项，对平衡去噪与平滑起重要作用。 • 参数 为规整参数，在用于图像修补时，修补区域 为零。
u t ( (
u u ))
• Bertozzi, Esedoglu, Gillette提出了基于 Cahn-Hilliard方程的修复模型:
u t ( u
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1

(u )) (u 0 u )
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四阶全变分效果及说明
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二阶全变分数值实现
• 最陡下降法 2 2 u y u xx 2u x u y u xy u x u yy u ( ) 2 2 u ux uy • 用差商代替偏导数来计算
u
n 1 i ,j
u
n i ,j
t (u
n i ,j
u i ,j ) t( (