yl[k]= x1[k]*x2[k]
k
yc[k] x1[k] 5 x2[k]
k
yc[k ] x1[k ] 6 x2[k ]
k
yl[k]= x1[k]*x2[k]
k
yc[k ] x1[k ] 7 x2[k ]
=yl[k]
k
yc[k ] x1[k ] 8 x2[k ]
=yl[k]
k
例：x1[k]={1,1,1}, x 2[k]={1,1,0,1} , 计算 (1) x1[k]和x2[k]的线性卷积 (2) x1[k]和x2[k]的4点循环卷积 (3) x1[k]和x2[k]的5点、6点和7点循环卷积
在线性卷积中，yl[k] 不为零长度是多少？
yl[k] 不为零长度是N1+N2-1
设：x1[k] 0 k N1 1 x1[k]的长度为N1 x2[k] 0 k N2 1 x2[k]的长度为N2
令N max[N1, N2] 不足的部分补零
N点循环卷积：
yc [k
]

x1[k ]
N 1 k 0
qk


1 N
N 1
1 qN
X [m]
m0
1 q
1 qN N1 X [m]
N m0 1 q
X (z) 1 zN
N
N 1 X [m] m0 1 WNm z1
2.4 利用DFT计算序列线性卷积*
两个有限长序列的线性卷积 利用DFT计算序列线性卷积的步骤 长序列和短序列的线性卷积
离散傅里叶变换与z变换的关系
由序列z变换表达序列DFT 由序列DFT表达序列z变换
已知有限长序列x[k]，k=0,1,2,…,N-1，存在三 种形式变换：

N 1
1. z变换：X (z) x[k]zk x[k ]zk
k
k 0
收敛域(ROC) |z|>0
2. DTFT变换：X (e j )
x[k]z k
2π jm
jm
ze N
k 0
ze N
N 1
2π - j km
x[k]e N
k 0
x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样
jIm(z)
2 N
m
j
z平面
2 N
-1 单位圆
0
1
Re(z)
2 ( N 1) N
-j
由序列DFT表示序列z变换Fra bibliotekN 1
X (z) x[k]z k k 0
已知DFT 求ZT=？
N 1
x[k] X [m] x[k]WNmk
k 0
x[k]
1 N
N 1
X [m]WNmk
m0
X
(z)

N 1 k 0
x[k ]zk
N 1 k0
1 N
N 1 m0
X [m]WNmk

zk

1 N
两个有限长序列的线性卷积
问题提出： DFTx1[k] x2[k] X1[m]X2[m]
实际需要： LTI系统响应 y[k]=x [k]h[k] 可否利用DFT计算线性卷积？
有限长序列的线性卷积与循环卷积* 设：x1[k] 0 k N1 1 x1[k]的长度为N1 x2[k] 0 k N2 1 x2[k]的长度为N2
N
x2 [k ]

N 1
x1[n]x2[(k

n)N
]
RN
[k]
n0


N 1
x2 [n ]x1[(k

n)N
] RN
[k ]

x2 [k ]
N
x1[k ]
n0

讨论循环卷积和线性卷积之间的关系：
对x1[k]和x2[k]补零，使其长度均为N点

对x2[k]周期延拓： x%2[k] x2[(k)N ] x2[k rN ]

N 1
x[k ]e jk x[k ]e jk
k
k 0
3.
DFT变换：
X
[m]

N 1

x[k ]e
j 2 N
mk
k 0
问题提出
ZT 单位圆上 DTFT
X(z)
X(ej)
?
DFT X[m]
序列DFT与z变换的关系
N 1
X [m] X (z) 2
r
循环卷积：yc
[k
]

N
1
x1[n]x2[(k

n)N
]
RN
[k
]
n0

代入x2[k] 周期延拓

N 1
x1[n]

x2[k rN n] RN [k]
n0
r

交换求和次序



N 1 x1[n]x2[k rN n] RN [k ]
能否用循环卷积代替有长序列的线性卷积？
线性卷积：
N1 1
yl [k] x1[k]* x2[k] x1[n]x2[k n]
n0
为什么不同？
N2 1
x2[n]x1[k n] x2[k]* x1[k]
n0
设：x1[k] 0 k N1 1 x1[k]的长度为N1 x2[k] 0 k N2 1 x2[k]的长度为N2
N 1
X[m]
x[k
]W
km N
k 0
X [m] X (z) j 2 m ; m 0,1 N 1 ze N
X [m] IDFT x[k] Z变换 X (z)
X (z) (1 z N ) N1
N m0
X [m] 1 z 1WNm
(内插公式)
N 1 m0
X
[m]

N 1
WN
k 0
mk
z

k

X
z

1 N
N 1 m0
X
[m]

N 1
WN
k 0
mk
z

k

q WNm z1 qN WNkN zN zN
X
z

1 N
N 1 m0
X
[m]

r n0




yl [k rN ] RN [k ]
r

yc
[k
]



yl [k rN ] RN [k ]
r

N点循环卷积yc[k]是线性卷积yl [k]以N为周期
的周期延拓序列的主值序列。
而yl [k]的长度为N1 N2 1
只有当N N1 N2 -1时，yl [k]以N为周期进行周期延拓 才无混叠现象
即 当循环卷积长度N N1 N2 1时， N点循环卷积能代表线性卷积
x1[k ] N x2[k ] x1[k ]* x2[k ]
0
N
N1 N2 k N1 N
1 2
2
例如: x1[k]
x2[k]
x1[k]的长度为3
k
x2[k]的长度为5
k
yl[k] 不为零长度是7