江苏省泰州市第二中学2020至2021学年秋学期高二年级三校联考12月第二次月考数 学 试 卷(2020年12月17日)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 命题“x x x ≥>∀sin ,0”的否定是 ( )A ． x x x ≤<∀sin ,0B ．x x x <>∀sin ,0C ． x x x <>∃sin ,0D ． x x x <≤∃sin ,0 2. 如果,1:,1:2>-<x q x p 则p 是q 的 ( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 抛物线241x y =的焦点坐标是( ) A ． )0,1(B ．)(10，C ．) ⎝⎛081，D ．⎝⎛⎪⎭⎫161,0 4. 如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于( )A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C. 111446OA OB OC ++D ．111244OA OB OC ++5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2020这2020个数中，能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有 ( )． A ．335项 B ．336项 C ．337项 D ．338项 6. 已知向量),,6,7(),3,2,1(),3,1,2(λ=-=-=c b a 若c b a ,,三向量共面，则λ的值为( ) A ．9B ．-9C ．-3D ．37. 正数b a ,满足,1=+b a 若不等式m x x ba +++≥+34412对+∈-∈∀R b a x ,]0,3[，恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A. [)3,+∞ B. (]3,-∞ C. (],6-∞ D. [)6,+∞8． 如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则椭圆的离心率为( )A.35B.21C.33D.22二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得2分)9． 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远。

若实数0a b >>，则下列不等式一定成立的是 ( )A. ab a -<2B. b a <C. b a 11>D. ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛212110. 已知等差数列{}n a 是递减数列，且满足,357a a ={}n a 的前n 项和为,n S 下列选项中正确的是 ( ) A. 0<dB. 01>aC. 当5=n 时，n S 最大D.0<n S 时n 的最小值为811. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，则下列结论一定成立的是 ( ) A.b =3 B.离心率为23C.60MAN ∠=︒D.准线方程为23±=x 12. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，π,22,3DAB AB AD PD PD ∠===⊥底面ABCD ，则下列结论正确的是 ( ) A. BD PA ⊥B. PB 与平面ABCD 所成的角为3πC. 异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为552 D. 二面角C PB A --的余弦值为772三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 若x 、y R ∈且满足43=-y x ，则22713++yx 的最小值是 . 14. 2020年新冠疫情爆发肆虐期间，江苏某定点医院每天因患疑似新冠肺炎而入院进行核酸检测的人数依次构成数列{}n a ，其前n 项的和为n S 满足82-=n n a S ，*∈N n ，则该医院在前3 天内因患疑似新冠肺炎核酸检测就诊的总人数共 人，数列{}n a 的通项公式为15. 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，交其准线l 于点C .若FA CF 2=，且,8=AF 则线段AB 的长为16. 关于x 的不等式0124)104()2(2>-+-+-a x a x a 的解集中至多包含两个整数,则实数a 的取值范围是四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程12422=-++ay a x 表示焦点在x 轴上的椭圆是真命题． (1)求实数a 的取值范围；(2)若q ：实数x 满足0)2)((<--a x a x ，其中0>a ，q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. (本题满分12分)已知双曲线C 的标准方程为22136y x -=,12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点. (1)若点P 在双曲线的右支上,且12F PF ∆的面积为6,求点P 的坐标；(2)若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点,求线段MN 的长度.19．(本小题满分12分)近几年，我国在新能源汽车领域有了长足的发展，新能源车的核心技术是动力总成，而新能源汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平。

某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比前一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元。

(1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？20. (本小题满分12分)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知满足______， (1)求公比q 以及a 12+a 22+…+a n 2． (2)设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 从①,9,1361S S a ==①1,14332-=-=a S a S ①,4,32,043521-=+-=>a a a a a 这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．21．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCD EFGH -中，HD ⊥底面ABCD ，//HD FB ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=︒，2HD =，1FB =，设点M 在棱DC 上，已知AM ⊥平面FBDH ．(1)求线段DM 的长度；(2)求直线MF 和平面AHM 所成角. (3)求二面角H AM D --的余弦值.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距与短轴长相等，且过焦点垂直于x 轴的弦长为22. (1)求椭圆C 的标准方程；(2) 过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为直线42x =上(不在x轴上)的一动点.①|A B|=4103,求直线AB 的方程；①设直线P A, PB, PM 的斜率分别为123,,,k k k 试探究 : 是否存在常数,λ∈R 使得 123k k k λ+= 恒成立?若存在，求出λ 的值 ；若不存在 ，请说明理由.江苏省泰州市第二中学2020至2021学年秋学期高二年级三校联考12月第二次月考数学试卷答案1.C2.A3.B4.D5.C6. B7.C8. A9. CD 10.ABD 11.BC 12.A C13.20 14. 56 *+∈=N n a n n ,2215.12 16.]34,(-∞17. (1)21<<-a ； (2)10≤<a18. (1))2,5(±P ； (2)3819. ,10,204)10(42=+--=n n y 最大盈利为204万元(2),7,80)1964()(=++-=n nn x f 平均盈利最多，最多是24万元 20. (1)【解答】解：若选①，，即q 3＝8，故q ＝2．因为是以为首项，q 2为公比的等比数列，所以．若选①，S 2＝a 3﹣1(*)，S 3＝a 4﹣1(**)令(**)式减(*)式，得a 3＝a 4﹣a 3，即a 4＝2a 3，故q ＝2． 则(*)式中，a 1+a 2＝a 3﹣1，即a 1+2a 1＝4a 1﹣1，即a 1＝1． 因为是以为首项，q 2为公比的等比数列，所以．若选①，则有a 2a 5＝a 3a 4＝﹣32，故有a 3a 4＝﹣32，a 3+a 4＝﹣4，解得a 3＝4，a 4＝﹣8，或a 3＝﹣8，a 4＝4，即q ＝﹣2或．因为是以为首项，q 2为公比的等比数列，若q ＝﹣2，a 1＝1，此时；或，a 1＝﹣32，不符合题设． ......................................................6分(2)因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 则2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n＝1－2n 1－2－n ×2n ＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1． ......................................................12分21．解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=︒，易知1AD =． 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2H ，()1,1,1F ， (1)设()0,,0M t ，因为AM ⊥平面FBDH ，所以AM BD ⊥，()1,,0AM t =-，()1,1,0BD =--．10AM BD t ⋅=-=，解得1t =，所以线段DM 的长度为1．(2)设()1,,n x y z =是平面HAM 的一个法向量，()1,0,2AH =-，()1,0,1MF =，则1100200n AM x y x z n AH ⎧⋅=-+=⎧⎪⇔⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，可取()12,2,1n =，],,0[22233π=⋅=直线MF 和平面AHM 所成角为.4π.(3)31 22. (1)14822=+y x所以直线AB 的方程为).2(-±=x y。