思考练习题1
1． 试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝0.5000μm ，ν=3000MHz 的光，每秒
从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？
答：粒子数分别为：18
8
346341105138.21031063.6105.01063.61⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯
⨯==---λ
ν
c h q n 23
9
342100277.510
31063.61⨯=⨯⨯⨯==-νh q n
2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。

(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1μm ，n 2/n 1＝0.1时，则温度T 为多高？
答：（1）(//m n E E m m kT
n n n g e n g --=）
则有：1]300
1038.11031063.6exp[23
93412≈⨯⨯⨯⨯⨯-==---kT h e n n ν
（2）K T T
e n n kT h 3
6
23834121026.61.0]1011038.11031063.6exp[⨯=⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==----ν
3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为1.64×l0－
18J ，设火焰(T ＝2700K)中含有1020个氢原子。

设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。

求：(1)能级E 2上的原子数n 2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n 2，求光的功率为多少瓦？
答：（1）1923
181221121011.3]2700
1038.11064.1exp[4----⨯=⨯⨯⨯-⨯=⇒=⋅⋅n n e g n g n kT
h ν
且20
2110=+n n 可求出312≈n
（2）功率＝W 918
8
10084.510
64.13110--⨯=⨯⨯⨯
4．(1)普通光源发射λ＝0.6000μm 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比
q q 激自1
=
2000
，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若34/100.5m s J ⋅⨯=-νρ，λ为0.6328μm ，设μ＝1，求
q q 激
自
为若干？ 答：（1）
3
1734
36333/10857.31063.68)106.0(2000188m s J h h c q q ⋅⨯=⇒⨯⨯⨯=⇒=---ννννρρπρπλρνπ＝自激
（2）9434
36333106.710510
63.68)106328.0(88⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---πρπλρνπννh h c q q ＝自激
5．在红宝石Q 调制激光器中，有可能将全部Cr 3＋
(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。

设红宝石直径0.8cm ，长8cm ，铬离子浓度为2×1018cm －
3，巨脉冲宽度为10ns 。

求：(1)
输出0.6943μm 激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命τ＝10－
2s ，问自发辐射功率为多少瓦？ 答：（1）最大能量
J
c
h d r h N W 3.2106943.010
31063.61010208.0004.06
8
3461822=⨯⨯⋅⨯⋅⨯⨯⋅⋅⨯=⋅
⋅⋅⋅=⋅=--πλ
ρπν
脉冲平均功率＝瓦8
961030.210
10103.2⨯=⨯⨯=--t W （2）瓦自
自自145113.211200
2021=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯==⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==⎰-e h N P e n dt e n N t A τνττ
6．试证单色能量密度公式，用波长λ来表示应为5
811
hc kT
hc e
λλπρλ
=-
证明：
1
1
811852322-⨯=⋅-⨯=⋅=⋅==
kT
h kT h e hc c e h c c dVd dw dVd dw νννλλπλλπλρλνλρ 7. 试证明，黑体辐射能量密度()ρν为极大值的频率m ν由关系1
12.82m T kh ν--=给出，并
求出辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系。

答：（1）由 3
3
811
hv kT
h c e
νπνρ=
-可得：
0))1(11
3(82323=⋅⋅--⋅+-=∂∂kT h
e e e c h kT h kT h kT h ν
νννννπνρ 令kT
h x ν=，则上式可简化为：x
x xe e =-)1(3
解上面的方程可得：82.2≈x 即：
1182.282.2--=⇒≈kh T kT
h m m
νν （2）辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系仍为
m m c λν=
8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数1
A τ
=
证明： 2
202)
2/1()(4)(τννπν+-=
A
f N ，由归一化条件且0ν是极大的正数可得： ⇒=+-⎰
∞
1)2/1()(40
2
202ντννπd A ⇒=+-⎰∞1)2/1()(4202202ντννπνd A
⇒='+'⎰
∞
1)
41(1
20
2
22
νπτνπd A τ
πτνπτπ1
1]'4[4202
=
⇒=⋅⋅∞A arctg A
9．试证明：自发辐射的平均寿命21
1
A =
τ，21A 为自发辐射系数。

证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：
t A e n t n 21202)(-＝
自发辐射的平均寿命可定义为
()dt t n n ⎰
∞
=
220
1
τ
式中()dt t n 2为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。

将（1-26）式代入积分即可得出
21
1
21
A dt e
t
A ==⎰∞
-τ
10．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为c υ<<
，证明接收器接收到的频率
0ν=
，在一级近似下为：0(1)c
υ
νν≈+
证明：0022021
220)1()211)(1()1)(1(11υυυυυυυυυυυν⋅+≈⋅⋅++≈⋅-+=⋅-+=-c c c c c c c
即证
11．静止氖原子的3S 2→2P 4谱线的中心波长为0.6328μm ，设氖原子分别以±0.1c ,±0.5c 的
速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少？ 答：Hz c c c c 146
8
1.010241.510
6328.01039.01.19.01.111⨯=⨯⨯⋅=⋅=-+=-+λυυνν 同理可求：Hz c 14
1.010288.4⨯=-ν；
Hz c 145.010211.8⨯=+ν；Hz c 14
5.010737.2⨯=-ν
12．设氖原子静止时发出0.6328μm 红光的中心频率为4.74×1014Hz ，室温下氖原子的平均速率设为560m/s 。

求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？
答：
Hz
c 814606
8
0010848.81074.4108667.1)108667.11()10
35601()1(⨯=⨯⨯⨯=∆⇒⨯+=⨯+=+=--νννυνν
13．(1) 一质地均匀的材料对光的吸收为0.01mm -1、光通过10cm 长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几? (2) —光束通过长度为1m 的均匀激活的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。

答；（1）368.01
)0()()0()(10001.0===⇒
=⋅--e
e I z I e
I z I Az
（2）11693.02ln 2)
0()
()0()(-⋅==⇒==⇒
=m G e I z I e I z I G Gz。