第七单元：数学广角——植树问题单元教学目标：1、通过观察、操作及交流活动，探索并认识不封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。

2、渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。

能够借助图形，利用规律来解决简单的植树问题。

3、让学生在积极参与的过程中获得成功的体验，在学会与人分享的过程中体验学习数学的乐趣，同时也培养学生爱护环境的意识。

教学重难点：重点：能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。

难点：理解间隔数与棵数之间的规律（总长÷间距=间隔数+1=植树棵数），并能运用规律解决问题。

在一条线段上植树（两端都栽）教学目标：1．建立并理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵数=间隔数+1”的数学模型。

2．利用线段图理解“点数=间隔数+1”“总长=间隔数×间距”等间隔数与点数、总长、间距之间的关系，解决生活中的实际问题。

教学重点：建立并理解“点数=间隔数+1”的数学模型。

教学难点：培养用画线段图的方法解决问题的意识，并能熟练掌握这种方法。

教学准备：课件。

教学过程：一、情境出示，设疑激趣教师：哪位同学知道我们国家设立的植树节是在哪一天？（3月12日）在这一天的植树活动中，遇到了这样一个问题。

（课件出示问题）例1：同学们在全长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端要栽）。

一共要栽多少棵树？教师：你能利用所学的知识解决问题吗？（学生交流）教师：你认为哪一个结果是正确的？（指名回答）二、经历过程，感受方法教师：可以用怎样的方法进行检验呢？（画线段图）那我们可以在草稿本上试一试。

遇到了什么困难？预设：100 m太长了，不太好画。

（追问：那我们可以怎么办？）学生：可以先用简单的数试一试。

（课件出示）三、探索实践，建立模型教师：先看看20 m的距离，在两端都栽的情况下可以栽几棵树，在草稿本上画一画。

实物投影或课件出示：教师：说说你是怎么想的？预设：20÷5=4，20 m被平均分成4段，因为两端要栽，所以要栽5棵树。

教师：再画一画，25 m可以栽几棵树？（学生操作）谁来说说你的想法？预设：25÷5=5，就是把25 m平均分成了5段，因为两端都要栽，所以要栽6棵树。

还可以这样画：这里的蓝色线段表示什么？（间隔数）红色线段呢？（植树棵数）教师：不画图，你能把下面的表格填写完整吗？（根据学生回答，教师在课件上输入数据）你发现了什么规律？预设：棵数要比间隔数多1。

（追问：可以用怎样的一个式子表示？）棵数=间隔数+1。

教师：谁能说说为什么要“+1”？（因为两端都要栽，所以栽树的棵树比间隔数多1。

）你能用发现的规律解决开头的问题吗？（指名回答，分析讲解）教师：回顾这个问题的解答过程，说说你的想法。

归纳小结：在解决较复杂或数据较大的问题时，可以先从简单数据出发得出规律，然后将规律运用于复杂问题进行解决。

四、利用新知，解决问题教师：根据刚才学到的知识，还可以解决许多生活中的问题。

（课件出示问题）1．在一条全长2 km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50 m安一盏。

一共要安装多少盏路灯？教师：读完这个题目，你觉得有哪些地方需要特别引起注意？学生练习，指名回答。

2．马路一边栽了25棵梧桐树。

如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵？教师：仔细读题，认真思考，说说你对这个题目的理解。

引导得出：要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。

由“棵数=间隔数+1”可得“间隔数=棵数-1”。

五、逆向思考，拓展新知园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6 m种一棵，一共种了36棵。

从第1棵到最后一棵的距离有多远？教师：读题并思考，要求“从第1棵到最后一棵的距离”就是求什么？（路长）跟例题相比，有什么不同？预设：例题是知道了路长求栽树的棵数，这题是知道了栽树的棵数，求路线长度。

追问：该怎样解答呢？试一试，并说说你的思路。

“36-1”算的是什么？（间隔数）再根据“间隔数×间隔距离=路长”计算。

六、回顾思考，全课总结通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。

在一条线段上植树（两端都不栽）教学目标：1．建立并理解在线段上植树（两端都不栽）的情况中“棵数=间隔数-1”的数学模型。

2．通过画线段图初步培养学生探索解决问题的有效方法的能力，尝试用植树问题的模型解决实际生活中的简单问题，培养应用意识。

教学重点：建立并理解“棵数=间隔数-1”的数学模型。

教学难点：培养学生探索解决问题的有效方法的能力。

教学准备：课件。

教学过程：一、创设情境，复习引入教师：上节课，我们学习了植树问题中两端都栽的情况，谁能说一说是用怎样的数学模型解决这类问题的？（棵数=间隔数+1）能快速地完成下一题吗？（课件出示题目）准备题：绿化队要在相距60 m的小路一边植树（两端都栽），相邻两棵树之间的距离是3 m。

一共要栽多少棵树？指名回答：60÷3+1=21（棵）答：一共要栽21棵树。

再来看看这一题（课件出示例2）认真思考，这两个题目有什么不同？大象馆和猴山相距60 m。

绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3 m。

一共要栽多少棵树？二、比较分析，迁移新知教师：你能用画图的方法表示出你的发现吗？同桌之间可以互相交流。

（指名汇报）预设1：准备题是一边，例2是小路两旁。

（追问：在图上该如何表示？）就是有两条线段。

（怎么计算？）只要先算出一边的树木数量，再“×2”就可以了。

预设2：准备题是两端都栽，例2是两端不栽。

（追问：你能通过示意图说说为什么吗？）因为小路的两端都是场馆。

教师：这个题目该如何解决呢？你想到了什么方法？（可以先从简单的事例中发现规律）请你在草稿本上试一试。

三、理解归纳，得出模型指名回答，过程预设：1．先画一个简单的线段图看看，以20 m长的线段为例，在两端都栽的情况下“棵数=间隔数+1”，需要栽5棵树。

2．同样长的线段，在两端都不栽的情况下只需要栽3棵树，也就是说栽的棵数比间隔数少1。

（教师追问：可以用怎样的数学模型表示？）棵数=间隔数-1。

教师：你能用不同的方法试一试，对这一数学模型进行验证吗？（学生操作，交流发现。

）运用这一模型，例2可以怎样解答？60÷3-1=19（棵）19×2=38（棵）答：一共要栽38棵树。

教师追问：为什么要“×2”？（因为小路两旁都要栽树）教师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解决过程。

通过与例1中两端都栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。

四、课堂练习，应用新知教师：利用这一数学模型，还能解决许多生活中的问题。

1．一条走廊长32 m，每隔4 m摆放一盆植物（两端不放）。

一共要放多少盆植物？学生练习，指名回答：教师：如果改为两端都放，该怎么算？这两种不同的摆法相差几盆？（2盆）为什么？（两端都放时，盆数=间隔数+1；两端都不放时，盆数=间隔数-1。

）2．一根木头长10 m，要把它平均分成5段。

每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？教师：这个问题和我们学习的植树问题有关联吗？属于植树问题中的哪一种情况？可以先用画图的方法试一试。

学生练习，分析讲评：五、利用变式，强化认知小明家门前有一条35 m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。

每隔5 m 栽一棵树（一端栽一端不栽）。

一共要栽多少棵？教师：这题与已经学过的植树问题有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜，再用自己喜欢的方法验证结果是否正确。

预设1：两端都栽的情况下，棵数=间隔数+1；两端不栽的情况下，棵数=间隔数-1。

这种一端栽一端不栽的情况，应该是棵数=间隔数。

预设2：是用画线段图的方法得出的，一共要栽7棵。

预设3：直接用35÷5=7（棵）。

（教师追问：35÷5算的是什么？）间隔数。

（用这样的方法计算其实是以什么作为依据的？）在一端栽一端不栽的情况下，棵数=间隔数。

教师：比较植树问题的三种情况，说说你自己的理解。

六、课堂小结植树问题在生活中的应用非常广泛，在解决这类问题时，应该先判断出属于哪一种情况，再根据题意列式解答。

在一条首尾相接的封闭曲线上植树教学目标：1．运用转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。

2．进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。

教学重点：理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。

教学难点：培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。

教学准备：课件。

教学过程：一、谈话引入，复习旧知教师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。

谁来帮助大家一起回顾这些知识？预设：在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵数比间隔数多1；两端都不栽时，棵数比间隔数少1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。

教师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？预设：可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。

教师：同学们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。

二、自主探索，学习新知1．出示情境，展开探索例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。

池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？教师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么相同和不同的地方？预设：不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。

（教师追问1：线段是怎样的？圆形又是怎样的？）线段是直的，圆形是一条曲线。

（教师追问2：一条什么样的曲线？）逐步引导得出：一条首尾相接的封闭曲线。

预设：相同之处是，都是已知长度和间隔距离。

教师：你能联系已经学过的知识，自主解决“一共要栽多少棵树”的问题吗？学生独立思考，讨论汇报。

2．概括归纳，得出模型教师：大家想到了用什么方法来解决问题？（画图）120 m的长度太长了，怎么办？（先用简单的数据试一试）（1）以周长为40 m的圆为例，通过下图得知，能栽4棵树。

（2）如果把圆拉直成线段，你能发现什么？预设：相当于在线段上植树的问题中“一端栽一端不栽”的情况。

（3）我们还可以用这样的方式来理解。

引导得出：植树的棵数与间隔数“一一对应”。

教师：利用发现的知识，你能解决例3的问题吗？（出示：池塘的周长是120 m？）120÷10=12（棵）答：一共要栽12棵树。

教师：谁能完整地概括一下刚才的发现？预设：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的一端栽一端不栽的情况。