2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：10057066所属学校（请填写完整的全名）：南京信息工程大学参赛队员(打印并签名)：1.石婧2.张蔚华3.罗钰婧指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期：2014年09月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要2013年底我国发射了嫦娥三号月球探测器，首次进行月面软着陆，是我国航天事业的一大跨步。

本文针对嫦娥三号软着陆的六个过程进行轨道设计与控制策略的确定，并做相应的误差分析和敏感性分析。

对于问题一，我们运用开普勒第二定律,迅速找出近日点和远日点之间的速度关联,根据机械能守恒定律使求得近日点和远日点的速度分别为1.673和1.633km/s 。

然后建立动力方程，利用轨道根数将软着陆过程中的运行轨迹重建，求导迭代计算出探测器从近月点到落地点的水平距离为430km ，，最终求得近月点位置为（19.0464°W ，28.9989°N ，15km ），远月点位置为(160.9536°W ，28.9989°N,100km)，俯仰角为84°。

对于问题二，我们先建立三维空间下的月心坐标系，通过对初始下降位置的计算，基于牛顿第二定律建立月球探测器在惯性坐标系下的精确数学模型，给出着陆轨道方程。

主减速过程利用燃料最优制导律，快速调整段利用重力转弯制导求最优解。

然后，在粗避障和精避障阶段，对数字高程图进行聚类分析，确定最佳着陆点并借鉴障碍回避最优制导律求解。

最终解得主减速模式历时约493s ，快速调整模式历时16s ，接近模式历时128s ，悬停模式17s ，避障模式19s ，缓速下降模式18s 。

对于问题三，对月球软着陆主制动段的位置、速度、力学、传感和燃料制导进行误差分析并建立模型，通过模拟整个闭环制导控制系统，仿真给出误差敏感性矩阵并分析得出位置偏差的敏感系数为4-10数量级，速度误差为2-10数量级。

误差结果表明，初始位置偏差对终端速度的影响较小，初始速度偏差对终端位置的影响较大，即此种制导方法对初始速度偏差较敏感。

相对于初始状态偏差和测量误差，制导律对刻度因素误差的敏感性明显要高。

关键词：动力学方程重力转弯轨道根数Pontryagin 极大值原理一、问题的重述随着中国航空航天事业的发展，继嫦娥一号，二号登月之后，嫦娥三号携带中国的第一艘月球车，实现了中国首次月面软着陆。

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。

但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点将在近月点15公里处以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零。

整个过程大概需要十几分钟的时间至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题的分析对于问题一，运用开普勒定律，根据机械能守恒定律先求出近日点和远日点的速度，在此基础上根据牛顿第二定律，结合科氏定律建立动力方程，将软着陆过程中的运行轨迹重建，求导迭代计算出探测器从近月点到落地点的水平距离，然后根据着陆点的位置倒推出近日点和远日点的位置和速度方向。

对于问题二，先建立三维空间下的月心坐标系，通过对初始下降位置的计算，基于牛顿第二定律建立月球探测器在惯性坐标系下的精确数学模型，给出着陆轨道方程。

而后将软着陆过程六个阶段分成三种情况分别给出制导公式，主减速过程利用燃料最优制导律，主减速段利用重力转弯制导求最优解，避障阶段使用障碍回避最优制导律求解并利用简单易操作的聚类分析得出最佳降落位置。

对于问题三，首先对探测器着陆过程中的各种误差进行简单列举，分析参数扰动对最优策略分析结果的影响。

然后着重讨论了位置和速度误差，力学模型误差，传感误差与燃料制导律误差，最后给出误差分析系统结构图，并通过模拟整个闭环制导控制系统。

进行仿真，给出误差敏感性矩阵并分析。

三、基本假设及符号说明3.1基本假设1.探测器在制动阶段受到的摄动影响仅考虑月球非球形重力场对着陆舱运动的影响和月球扁率的间接效应。

2.假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合。

3.假设制动过程中探测器的质量不变。

4.假设探测器轨道与月球本初子午线重合。

5.假设制动时，发动机推力P 的方向与探测器纵轴重合。

6.假设月球是一个标准的球体，质心和月心重合。

7.忽略月球的自转。

3.2符号说明m探月器的质量B A v v ,近月点，远月点的速度S ∆一段时间里扫过的面积探月器与月球的连线在E 探月器的总机械能zL yL xL V V V ,,探月器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影F 发动机的推力g 月球重力加速度L ω月球自传角速度γ下降速度矢量与x 轴的夹角r 探月器月心距e v 发动机单位质量推进剂产生的冲量C燃料质量变化率e 轨道偏心率ω近地点幅角L a 着陆器的赤经J 终极性能指标rr ∆∆,位置误差，速度误差四、问题一的模型与求解4.1近月点远月点速度模型设该行星质量为B A m ,,分别为该行星运动的近日点和远日点,以B A v v 和分别表示经这两点的速度,由于速度沿轨迹的切线方向,可知B A v v 和的方向均与椭圆的长轴垂直(如图1),且B A ,两点距太阳的距离分别为c a L c a L B A +==,-,在B A ,两点分别取极短的相等时间t Δ,则行星与月球连线在这两段时间内扫过的面积分别为,Δ21Δ,Δ21ΔB B B A A A L t v S L t v S ••=••=根据开普勒第二定律:行星和太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积,故有B A S S ΔΔ=,代入得A B v c a c a v +=-（1）行星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和,故当行星分别经过B A ,两点时的机械能为c a GMm mv L GMm mv E A A A A --=-+=2221)(21（2）,-21)-(2122ca GMm mv L GMm mv E B B B B +=+=（3）由于行星在运动过程中只受万有引力作用，所以遵循机械能守恒定律，故有BA E E =（4）将(1)~(4)式联立求解得a c a GM c a v a c a GM c a vB A )()-(,)-()(+=+=很明显，B A v v ，正好符合我们对近月点和远月点速度大小关系的认知，即近月点的速度是1.673s km /，可得远月点的的速度是1.633s km /.图1图2月球下降轨道分段示意图4.2近月点远月点位置模型探月飞行器到达与月球附近之后，通过霍曼转移变轨，从圆形环月轨道进入一条近月点高度为15km的椭圆轨道。

当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进入动力下降段，不断的降低速度和高度，同时寻找着陆点，最终以趋近于零的相对速度降落到月面指定位置。

着陆舱在制动减速段的飞行过程中,除了受到主发动机的推力和月球重力外,还会受到许多扰动力，主要摄动影响有:月球非球形重力场、球扁率的间接效应、太阳系其它天体的引力摄动、地球扁率的直接效应以及太阳辐射压等。

本文由仅考虑月球非球形重力场对着陆舱运动的影响和月球扁率的间接效应。

为了确定探测器的运动轨迹，进而确定近月点、远月点的位置，首先定义月心惯性坐标系]1[oxyz ，原点在月心，参考平面是月球赤道面，ox 轴指向月球赤道相对于白道的升交点，oy 轴指向月球自转角速度方向，oz 轴垂直于赤道平面。

再定义月固坐标系l l l z y ox ，以月球赤道面为参考平面，L ox 轴指向赤道面与起始子午面的交线方向，L oy 指向月球自转角速度方向，L oz 轴按右手坐标系确定。

111z y Ax 为原点在探测器质心的轨道坐标系，1Ay 指向从月心到着陆器的延伸线方向，11Ay Ax 垂直指向运动方向，1Az 按右手坐标系确定。

图3坐标系示意图制动发动机推力F 的方向与探测器纵轴重合，1P Ay 与为θ轴正向所成夹角，轴负向所成夹角平面上的投影与在为111Ax Az x P ψ，所成夹角与为oy Ax 1β，α为1Ax 在xoz 平面上的投影与ox 轴正向所成夹角，θ为P 与1Ay 为月球自转而产生的月固坐标系相对惯性坐标系的转角。

显然有轨道坐标系到惯性坐标系转换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=a aa a a a T cos 0sin sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos 1ββββββ惯性坐标系到月固坐标系的转换矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=γγγγcos 0sin 010sin 0cos 2T 根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理得到探测器在月固坐标系中的运动方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡xL L zL L zL yL xL V V m F m F m F T T V V V ωωψθθψθ202-g g g -sin sin cos cos sin zL yL xL 12 （5）其中和xL V ，yL V 和zL V 为探测器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影，F 为发动机推力，m 为探测器质量，xL g ，yL g 和zL g 为该高度月球重力加速度在月固坐标系各轴上的投影，L ω为月球自转角速度，通过轨道六要素计算得俯仰角为84°。