n 次独立重复试验的公式:
一般地, 在n次独立重复试验中, 设事件A发生的次数 为X , 在每次试验中事件A发生的概率为p, 那么在n次 独立重复试验中, 事件A恰好发生k次的概率为
k k k k n k P ( X k ) Cn p (1 p)n k C n p q , k 0,1,2,..., n. (其中q 1 p)
即A、B相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B )
若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: ② A 与 B； ③ A 与 B . ① A 与 B； 注： (1)互斥事件: 指同一次试验中的两个事件不可能同时发生.
(2)相互独立事件: 指在不同试验下的两个事件互不影响.
离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1 , x2 , x3 , , xi ξ取每一个值 xi (i 1, 2, ) 的概率P(x xi ) pi
则称表格
ξ p
x1 p1
x2 p2
… …
xi pi
… …
为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列. 注:离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
有 20 件产品， 其中 5 件是次品， 其余都是合格品，现不放回地从中依次 抽 2 件，求： (1)第一次抽到次品的概率； (2)第一次和第二次都抽到次品的概 率； (3)在第一次抽到次品的条件下，第 二次抽到次品的概率．
【规范解答】 设第一次抽到次品为事件 A，第二次抽 到次品为事件 B. 5 1 (1)第一次抽到次品的概率 P(A)＝20＝4. 1 (2)P(AB)＝P(A)P(B)＝19.
……
超几何分布列. 像上面这样的分布列称为
注:超几何分布的模型是不放回抽样
n次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为 n次独立重复试验.
注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征， 第一：每次试验是在同样条件下进行; 第二：各次试验中的事件是相互独立的; 第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生, 要么不发生.
(1) pi ≥ 0, i 1， 2， 3，
(2) p1 p2 p3
1
一、两点分布列
如果随机变量ξ的分布列为：
ξ P
1 p
0 1-p
这样的分布列称为两点分布列(又称0-1分布),称随机变 量ξ服从两点分布,而称P(ξ=1) =p为成功概率.
二、超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有 X k发生的概率为： X件次品数，则事件
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程 度越小，即越集中于均值。
易证离散型随机变量的方差满足以下性质：
性质1：x 与ax b期望与方差的关系
性质2：
（1）若x ~两点分布
（2）若x~B(n,P） （3）若x～几何分布
求相互独立事件的概率
(1)若 A， B 互斥， 则 P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)，反之不成立． (2)若 A，B 相互独立，则 P(AB)＝ P(A)P(B)，反之成立．
设对某目标进行三次相互独立 的射击，各次的命中率分别为 0.2、0.6、 0.3，试求： (1)在三次射击中恰有一次命中的概 率； (2)在三次射击中至少有一次命中的 概率．
k n k CM CN M P( X k ) n CN
k=0,1,2, …… , m
则随机变量X的概率分布列如下： X 0 1
M , n, 其中m min 且n N , M N , n, M , N N *
m
m n m CM CN M n CN
……
P
0 n 0 1 n 1 CM CN C C M M N M n n CN CN
注:n 为重复试验的次数；p是在1次试验中某事件A发生的 概率；k是在n次独立试验中事件A发生的次数.
三、二项分布 在一次试验中某事件发 生的概率为p, 那么在n 次独立重复试验中这个 事件恰好发生 k次的概率为 k k n k P ( X k ) C n p (1 p) ，这样的随机变量 X服从 二项分布, 记作X ~ B( n, p)
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布x (1 p)
（即n=1的二项分布）
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 x . M ⑴如果是有放回地取，则 x B( n, ) N ⑵如果是不放回地取, 则 x 服从超几何分布.
条件概率：
定义：一般地 , 设 A,B 为两个事件 , 且 P( A) 0 , 称 P ( AB ) 为在事件 A 发生的条件下, 事件 B P ( B | A) P ( A) 发生的条件概率 .
A AB B

条件概率
PAB (1)P(B|A)＝ ； PA nAB (2)P(B|A) ＝ . 在古典概型下， nA n(AB)指事件 A 与事件 B 同时发生的基本 事件个数；n(A)是指事件 A 发生的基本 事件个数．
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
结论3:若随机变量x服从几何分布，则E x=1/p
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为： x x2 x1 · · · xi · · · xn p1 p2 P · · · pi · · · pn
则称 2 2 2 Dx ( x1 Ex ) p1 ( x2 Ex ) p2 ... ( xn Ex ) pn 为随机变量x的方差. 称x＝ Dx 为随机变量x的标准差.
2 2
2
上述计算结果可用下表和图来表示：
区间 , 2 , 2 取值概率
0.6826
0.9544
3 , 3
0.6826
0.9974
0.9544
0.9974
已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0， σ )， 若 P(ξ＞2)＝0.023， 则 P(－2≤ξ≤2) ＝( ) A．0.447 C．0.954 B．0.628 D．0.977
于是得到随机变量X的概率分布如下： X p 0 1 … k … n
n n 0 Cn pq 0 0 n 1 1 n 1 Cn p q Cn pq … k k n k Cn pq …
k k n k 注 :由于C n p q 恰好是二项展开式 (q p)n中的第k 1 项( k 0,1,2,..., n).所以称这样的随机变量 X服从二项分布.
2Hale Waihona Puke 数学期望的定义:一般地，随机变量ξ的概率分布列为
x1 x2 xi xn pn pi P p1 p2 则称 Ex x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为x 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随
x
机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面三个结论: 结论1：若 ax b, 则 E aEx b ;
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率 1 1 4 为 P(B|A)＝19÷4＝19.
5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧 的，每次取一个，不放回地取两次，求 在第一次取到新球的情况下，第二次取 到新球的概率．
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发 生的概率没有影响(即 P ( AB) P ( A) P ( B) ), 则称 事件A与事件B相互独立.
k n k CM CN M P (x k ) (k 0,1, 2, n CN
, m) (其中 m min( M , n)
四、正态分布
若x ~ N（， ） , 则Ex , Dx ,x
2 2
正态曲线：f x
1 2
e

x