二次函数典型应用题Revised on November 25, 2020
新启点教育学科辅导讲义
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二次函数应用题分类
二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：
第一类、利用待定系数法
对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。
解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
例1．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。
根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x（十万
0 1 2 …
元）
y 1 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大
二、分析数量关系型
题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。
解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
例2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。
市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千
克。
在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天
时，按整天计算）。
设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成
的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图
象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，
哪一种获总利较多，多多少
三、建模型
即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。
这类问题建模
要求高，有一定难度。
例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm ，抛物线顶点处到边MN 的距离
是4dm ，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线
上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm
例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y (万件)与销售单价x (元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z (万元)(不含进价)与年销量y (万件)存在函数关系z =10y +.
(1)求y 关于x 的函数关系式;
(2)度写出该公司销售该种产品年获利w (万元)关于销售单价x (元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x 为何值时,年获利最大最大值是多少
(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围
在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元
四：利润最大(小)值问题
知识要点：
二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式
a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
即当0>a 时，函数有最小值，并且当a
b x 2-=，a b a
c y 442-=最小值； 当0<a 时，函数有最大值，并且当a
b x 2-=，a b a
c y 442-=最大值． 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当
a
b x 2-=，a b a
c y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，
c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；
如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，
c bx ax y ++=222最小．
商品定价一类利润计算公式：
经常出现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量；商品售价2；商品定价；（商品调
价）；商品销售量1；销售量变化率;其他成本。
a 4
b a
c 4)a 2b x (a y 2
2-++=
件，那么他把售价定为多少时，才能使每天获利最大每天最大利润是多少
6．在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势；设这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售；(1)试建立销售价y 与周次x 之间的关系式；(2)若这种时装每件进价Z 与周次x 之间的关系为Z=(x8)2+12(1≤x ≤16，且x 为整数)，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大最大利润是多少
二次函数经典应用题练习题
1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元最大销售利润是多少
2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少
3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．
（2）当x 为何值时，S 有最大值并求出最大值．
（参考公式：二次函数（），当时，) 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份 1月 5月
销售量 万台 万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大最大是多少
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）．
（参考数据：34 5.831≈，35 5.916≈，37 6.083≈，38 6.164≈）
5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．
（1）求一次函数y kx b =+的表达式；
2y ax bx c =++0a ≠2b x a
=-2
44ac b y a
-=最大(小)值。