含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ； 例１ 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数,()044222>+=-+=∆a a a ,故只需对二次项系数进行分类讨论。
解:∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ,0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或;当0<a 时,解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、（1-ax )２<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当3、a ｘ2-(a +1）x ＋１<0（a ∈R)二、按判别式∆的符号分类,即0,0,0<∆=∆>∆; 例３ 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解:∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ; 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且; 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ,21622---=a a x ,显然21x x >，∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或; 当33>-<m m 或,即0<∆时，解集为R 。
(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a >0， ∴不等式的解集为{x |0<x <2a }． 综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集； 当a <0时，不等式解集为{x |2a <x <0}；当a >0时，不等式解集为{x |0<x <2a}．变式：解关于x 的不等式：012<++x ax Φ≥-+-<<---<<-<=--->-+-<<时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(a a a x a a x a x x a aax a a x x a三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类,即212121,,x x x x x x <=<;例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 分析：此不等式可以分解为:()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ,令aa 1=，可得:1±=a ∴当1-<a 或10<<a 时,a a 1<,故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|； 当1=a 或1-=a 时,aa 1=，可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。
例6 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小．解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或;当0<a 时,即23aa ，解集为{}|23x x a x a ><或变式:１、223()0xaa x a 2、0222<--a ax x解：∵x 2－(a+a ２）x+a ３＝(x-a)(x-a 2) ∴当ａ>1,或a ＜0时，不等式的解为a<ｘ<a 2 当0<ａ<1时，不等式的解为ａ2<x<a 当a=0,或a ＝1时，不等式解为φ 098.0222222≥=+=∆=--a a a a ax x 的判别式方程.,221a x a x -==得方程的两根为.2,0)3(a x a a -<<<则若ax a a 2,0)1(<<->则若Φ<=此时解为则原不等式为若,0,0)2(2x a课后练习：１、)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x ax ，且（分3;32;2><<--<a a a 讨论）}3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(a x x x a x a x x a x a x x a <<-<><<-<<<-<<-<-<或时，当或时，当或时，当 2、不等式11<-x ax的解集为}21|{><x x x ，或，求a 的值. (21=a ） ３、已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A , ①若AB ,求实数a 的取值范围.;（2>a ）②若A B ⊆，求实数a 的取值范围.；（21≤≤a )③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值．(1≤a ) 解:A={x|1≤x ≤2}，B=｛x ｜（x-1)(x-a)≤0｝ (1）若ＡB （图甲）,应有a ＞２. （2)若ＢA （图乙),必有1≤a ≤2.(3)若A ∩Ｂ为仅含一个元素的集合(图丙)，必有a ≤1.4、已知}031|{≤--=x x x A ,B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2,求实数a 的取值范围. (31<≤a ） 5、设全集R U =，集合}3|12||{},01|{<+=≥+-=x x B x ax x A ，若R B A = ，求实数a 的取值范围. (12≤≤-a ) 6、已知全集R U =,}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ,若C B A ⊆)( ，求实数a 的取值范围．（ 21≤≤a ）７、若关于ｘ的不等式(2x -１)2<ａx ２的解集中的整数恰有3个,求实数a 的取值范围。
（]1649925<<a 【解析】 不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1<0 ①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以⎩⎨⎧>--=∆>-0)4(41604a a ，解得0<a <4,故由①得a x a -<<+2121,又212141<+<a ,所以解集中的3个整数必为1,２,3,所以3＜a-21≤4，解得925<a ≤1649。