山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学第18届“希望杯”第1试试题一、选择题（每小题4分，共40分）1．a 和b 是满足ab ≠0的有理数，现有四个命题：①422＋－b a 的相反数是422＋－b a ；②a －b 的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差；③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．其中真命题有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）3．在代数式xy 2中，x 与y 的值各减少25%，则该代数式的值减少了（ ） （A ）50% （B ）75% （C ）6427 （D ）64374．若a＜b ＜0＜c ＜a ，则以下结论中，正确的是（ ）（A ）a ＋b ＋c ＋d 一定是正数 （B ）d ＋c －a －b 可能是负数（C ）d －c －b －a 一定是正数 （D ）c －d －b －a 一定是正数5．在图1中，DA ＝DB ＝DC ，则x 的值是（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）406．已知a ，b ，c 都是整数，m ＝｜a ＋b ｜＋｜b －c ｜＋｜a －c ｜，那么（ ） （A ）m 一定是奇数 （B ）m 一定是偶数（C ）仅当a ，b ，c 同奇偶时，m 是偶数 （D ）m 的奇偶性不能确定 7．三角形三边的长a ，b ，c 都是整数，且[a ，b ，c ]＝60，（a ，b ）＝4，（b ，c ）＝3．（注：[a ，b ，c ]表示a ，b ，c 的最小公倍数，（a ，b ）表示a ，b 的最大公约数），则a ＋b ＋c 的最小值是（ ）（A ）30 （B ）31 （C ）32 （D ）33 8．如图2，矩形ABCD 由3×4个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有（ ）（A ）40个 （B ）38个 （C ）36个 （D ）34个 9．设[a ]是有理数，用[a ]表示不超过a 的最大整数，如[1.7]＝1，[－1]＝－1，[0]＝0，[－1.2]＝－2，则在以下四个结论中，正确的是（ ） （A ）[a ]＋[－a ]＝0 （B ）[a ]＋[－a ]等于0或－1 （C ）[a ]＋[－a ]≠0 （D ）[a ]＋[－a ]等于0或110．On the number axis ，there are two points A and B corresponding to numbers 7 andb respectively ，and the distance between A and B is less than 10．Let m ＝5－2b ，then the range of the value of m is （ ）（A ）－1＜m ＜39 （B ）－39＜m ＜1 （C ）－29＜m ＜11 （D ）－11＜m ＜29 （英汉字典：number axis 数轴；point 点；corresponding to 对应于…；respectively 分别地；distance 距离；less than 小于；value 值；range 范围）二、填空题（每小题4分，共40分）11．121－265＋3121－42019＋5301－64241＋7561－87271＋9901＝_______．12．若m ＋n －p ＝0，则⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m p p m n p n m 111111－－－＋－的值等于______．13．图3是一个小区的街道图，A 、B 、C 、…X 、Y 、Z 是道路交叉的17个路口，站在任一路口都可以沿直线看到这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设__________个岗哨．ABC D图2图3A BDEFGN Q H P SX Y Z RM 图114．如果m －m1＝－3，那么m 3－31m ＝____________．15．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2006112005111007111006111005111004112006200554321－－－－－－＋＋＋＋＋＋＋ ＝__________．16．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有______个．17．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是__________岁．18．初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有15人，则全班同学共有________人．19．2m ＋2006＋2m （m 是正整数）的末位数字是__________．20．Assume that a ，b ，c ，d are all integers ，and four equations (a －2b )x ＝1，(b－3c )y ＝1，(c －4d )z ＝1，w ＋100＝d have always solutions x ，y ，z ，w of positive numbers respectively ，then the minimum of a is ____________． （英汉词典：to assume 假设；integer 整数；equation 方程；solution （方程的）解；positive 正的；respectively 分别地；minimum 最小值）三、解答题（本大题共3小题，第21题10分，第22、23题15分共40分）要求：写出推算过程． 21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．如图4所示，三角形ABC 的面积为1，E 是AC 的中点，O 是BE 的中点．连结AO 并延长交BC 于D ，连结CO 并延长交AB 于F ．求四边形BDOF 的面积．23．老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度25千米A B C DE FO 图4／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时．第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试 参考答案一、选择题1、C ，提示：①②④正确，③错误。

2、C ，提示：正方体的平面展开图中一个顶点能连出4个正方形。

3、C ，提示：2237(25%)(25%)64xy x x y y xy---=4、C ，提示：（A ）0,0, a b c d a b c d +<+>+++不确定，A 错；（B ）0,0,0 0d c a b d c a b +>->->+-->，B 错； （C ）0,0,0, 0d c a b d c b a ->->->--->，C 对； （D ）0,0,0 c d a b c d b a -<->->---不确定，D 错。

5、A ，提示：如图，,30DA DB DC CAD ACD ==∠=∠=︒，50,DBA DAB DBC DCB x ∠=∠=︒∠=∠=︒， 30305050180x x ︒+︒+︒+︒+︒+︒=︒， 10x =。

6、B ，提示：因为m 中如果有,,a b c 出现，则都是以它们的偶数倍形式出现的。

7、B ，提示：(,)4,(,)3a b b c ==，则4,43a b ==⨯，则4a =，43b =⨯，又[,,]60a b c =，则35,31c a b c =⨯++=。

8、A ，提示：共有矩形60个，共有是正方形的有20个。

9、D ，提示：当1a =时，[][]0a a +-=，当12a =时，[][]0(1)1a a +-=+-=-。

10、 C ，提示：710,10710,317b b b -<-<-<-<<，173,3426,295211b b b -<-<-<-<-<-<，即2911m -<<。

二、填空题11、9110，15119141171112345678926122030425672901111111 133579261220304290111111112612203042901111111122334910111911221010-+-+-+-+=++-++-++-++++=++++++++=++-+-++-=++-= 提示：12、3-，13、4 ，提示：如图四点：D 、N 、Y 、F 14、36-，提示：32232211111()(1)()[()3](3)[(3)3]36m m m m m m m m m m -=-++=--+=-⨯-+= 15、4026042；提示：16、31；提示：设这些乒乓球有x 个，则发给第一名：1122x +个； 发给第二名：22111111()222222x x x --⨯+=+个，发给第三名：331122x +个，发给第四名：441122x +个，发给第五名：551122x +个。

则234511111()(1)22222x x +++++=，31,3132x x ==。

17、18 ；提示：设甲，乙，丙，丁四人的年龄为,,,a b c d ，则111111()()()()()()111 3m n p n p m p m n m m n n n pn p m p m n m p n p m nn n m m p p-+--+=-+---=-+--+=---=-提示：1234520052006111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)10041005100610072005200612345200520061003100410051006200420051004100510061007200520062(1234520052006)2006(12006)22200+++++++------+++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+++++++⨯+=⨯= 620074026042⨯=①+②+③+④ 得6()270,45a b c d a b c d +++=+++=⑤，将⑤分别代入①,②,③,④，求得3,4,12,21a b c d ====，21318d a -=-=。