（欢迎大家指正m
已知：九个格子，用 1 至 9 九个整数不重复的填入其中，使得每行、每列以及对角线三个数 相加之和总是一个固定常数。 解：因为 1+2+„„+9=45，共有三行，45 除以 3 等于 15，我们可以知道该固定常数是 15。 设九个数分别为 a 至 m，那么可以列出 8 个加法式： a+b+c=15 (1) a+e+m=15 (2) a+d+g=15 (3) m+h+g=15 (4) m+f+c=15 (5) b+e+h=15 (6) d+e+f=15 (7) g+e+c=15 (8) 8 个式子相加，得总式： 3a+4e+3m+3c+3g+2b+2h+2d+2f=120, 因为 a+m=c+g, b+h=d+f,化简原式，得： 4e+6a+6m+4b+4h=120，因为 e+b+h=15, 所以可得：6a+6m=120 – 60 a+m=10 所以：e=5。至此，我们求出了中间的这个数，把 e 代入 8 个加法式中，其化简为： a+b+c=15 (1) a+m=10(2) a+d+g=15 (3) m+h+g=15 (4) m+f+c=15 (5) b+h=10 (6) d+f=10 (7) g+c=10(8) 这样看来，还是未知数太多，无法求解，我们试着联立（2） 、 （3）式，换一种思路，得： m - d - g=-5, （9） 因为 d+g=b+c,
所以（9）式转换成：m-(b+c)=-5 联立方程组： m-(b+c)=-5 转化 m - c=-5+b m+f+c=15m+c=15 - f (11)
(10)
将（10） 、 （11）相加，得：m
=5+
������−������ 2
������−������ 2
我们利用已知条件对 m 的取值范围加以约束，1 ≤ m ≤ 9，且m ≠ 5，即：1 ≤
≤ 4，������ ≠
������ ≠ 5，������, ������ > 0， 化简不等式， 得： 2 + f ≤ b ≤ 8 + f,因为1 ≤ b ≤ 9， 所以2 + f ≥ 1，8 + f ≤ 9，得 − 1 ≤ f ≤ 1，所以 f 只能取 1，则 b 理论上可取 3，4，6，7，8，9. 然后我们希望通过找到一个关于 b 的式子，能对 b 的取值进一步加以限制，于是，我们联立 （2） 、 （5） ：a+m=10 m+f+c=15， 因为 f=1，所以可得式子：a-c=-4，转换成：a=-4+c (12) 将（12）式代入（1）式得：b=19-2c (13) 这个时候我们就可以对 b 的取值加以限定了， 因为 c 必须为整数， 所以 b 肯定不能取 4， 6， 8；又因为 f=1，所以 b 不能取 9，所以，b 可以取 3 或 7。 至此，我们求出了 e、f、b 的值，我们又能根据 b 的取值求出 c 和 m 的值，继而所有的数 就都可求出来了。 很巧的是，求解的顺序和“戴九履一，左三右七，二四有肩，六八为足，五居中央”基 本是一样的。