动轨迹，在连接点处为
了避 免 尖 点 对 运 动 平
滑性的影响，在连接点
处采 用 二 次 Ｂｅｚｉｅｒ 曲
线进行过渡连接。
图 １ 采用 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线过
图 １ 中，点 Ｐ４ 构成了一条由三段直线相连而成的运动轨
迹，在连接点
Ｐ２
和
Ｐ３
处出现尖点，将点
Ｐ
ｉ ｅ１
图 ２ 中的二次 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线的计算公式可表示为
Ｂ（τ） ＝ （１
－
τ）
２
Ｐ
ｉ ｅ１
＋
２τ（１
－
τ） Ｐｉ ＋ １
＋
τ２
Ｐ
ｉ ｅ２
式中 τ 为 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线的插值变量， τ ∈［０，１］
Ｂ（τ） 对于 τ 的速度公式可表示为
ｄＢ（τ） ＝ ｄτ
｜ Ｂ′ｕ （ τ） ｜ ２ ＋ ｜ Ｂ′ｖ （ τ） ｜ ２
ＤＯＩ：１０．１３４３３ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．１００３⁃８７２８．２０１６．１１００
Ｎｏｖｅｍｂｅｒ ２０１６ Ｖｏｌ．３５ Ｎｏ．１１
工业机器人可视化运动仿真的研究
张铁，黄晓霞
（ 华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 ５１０６４０）
摘要：为实现工业机器人运动过程的可视化仿真，以 ＯｐｅｎＧＬ 技术作为图形支撑，在 ＶＣ＋＋环境下进 行编程，对机器人的运动仿真展开研究。 详细研究了仿真系统中轨迹生成的步骤及其具体实现方 法，并重点对轨迹规划算法进行了分析。 为消除机器人运动过程中连续轨迹的连接点对运动平滑 性的影响，探讨了通过 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线均匀插值实现笛卡尔空间中连续轨迹平滑过渡的轨迹规划算法， 并通过仿真与实验对可视化运动仿真系统进行了验证。
为了消除连接点对运动平稳性的影响， 可以采用
Ｂｅｚｉｅｒ 曲线对连接段进行过渡拟合，将连接点作为
控制点，则由过渡段的起始点、终止点和连接点构造
一条二次 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线。 这种方法计算过程比较简
单，而且可以利用 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线的分段处理性对过渡
段进行独立处理。
如图 １ 所示为多
段连 续 直 线 相 连 的 运
∫τ
Ｌ（τ） ＝ Ａｘ２ ＋ Ｂｘ ＋ Ｃ ｄｘ ＝
０
１ ３ ｛２
Ａ （２Ａτ ＋ Ｂ）
Ａτ２ ＋ Ｂτ ＋ Ｃ －
８Ａ ２
第 １１ 期
张铁等：工业机器人可视化运动仿真的研究
３
２Ｂ ＡＣ ＋ （Ｂ２ － ４ＡＣ）［ｌｎ（２ ＡＣ ＋ Ｂ） －
ｌｎ（２ Ａ Ａτ２ ＋ Ｂτ ＋ Ｃ ＋ ２Ａτ ＋ Ｂ）］｝ 设 τ′ 为 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线插值点均匀的插值时间变 量，则可以利用牛顿迭代法对插值时间变量进行求
网络出版时间：2016-10-10 18:21:21 ２０１网６络年出版１地１址月：/kcms/detail/6机1.1械114科.TH学.2与016技101术0.1821.020.html
第 ３５ 卷 第 １１ 期
Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｆｏｒ Ａｅｒｏｓｐａｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
项式插值的方法计算量大且过程繁复；Ｂ 样条曲线 拟合的插值方法应用较为广泛［３⁃５］ 。 此外， 还 有 使 用 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线进行拟合的方法，但目前 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线 拟合的研究中没有考虑插值点均匀的问题［６］ 。 工 业机器人在焊接行业中使用最为广泛［７］ ，运动轨迹 中插值点均匀与焊缝成形的质量息息相关。 本文将 研究轨 迹 规 划 中 Ｂｅｚｉｅｒ 曲 线 拟 合 段 均 匀 插 值 的 方法。
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ； ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｐｌａｎｎｉｎｇ； ｂｅｚｉｅｒ ｃｕｒｖｅ
运动仿真是工业机器人离线编程系统中的一个 重要组成部分，对机器人的运动控制研究具有重要 意义［１⁃２］ 。 轨 迹 生 成 是 运 动 仿 真 中 必 不 可 少 的 部 分，目前对机器人轨迹规划的方法主要有三次多项 式插值、高阶多项式插值以及 Ｂ 样条曲线拟合等方 法。 采用三次多项式插值的方法机器人运动过程中 关节变量的角加速度不能保持平滑过渡；而高阶多
式中： ｄｉ ＝｜ Ｐｉ Ｐｉ＋１ ｜ ，ｉ ＝ １，２。
２） 建立新坐标系 ＯＲ⁃ＵＶＷ ，并求解坐标系的变
换矩阵。
以点 Ｐｉｅ１ 为原点， 以Ｐｉｅ１ Ｐ→ｉｅ２ 为坐标系的 Ｕ 轴方
向，Ｐ
ｉ ｅ１
Ｐ→ｉｅ２
×
Ｐ
ｉ ｅ２
→ Ｐｉ＋１ 为坐标系的
Ｗ
轴方向，建立新
的坐标系 ＯＲ⁃ＵＶＷ 。
３） 在坐标系 ＯＲ⁃ＵＶＷ 中进行 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线过渡
，Ｐｉ
＋
１
和
Ｐ
ｉ ｅ２
三点构造一条二次
Ｂｅｚｉｅｒ
曲线。
图中实线部分
为在尖点处采用 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线过渡连接的运动轨迹。
在进行轨迹规划的过程中，直线部分起始和终
止部分采用抛物线进行规划，中间部分采用线性函
数规划，而过渡段则采用均匀插值的 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线进
行拟合，即图 １ 中点 Ｐ１ 到点 Ｑ１ 段为匀加速段，点 Ｑ２ 到点 Ｐ４ 段为匀减速段，中间部分为均匀插值段。 运 动过程中的插值精度以控制点到起始点 （ 或终止
ｉ ｅ１
）
，Ｐ
ｉ ｅ２
（
ｘｉｅ２
，ｙ
ｉ ｅ２
，ｚｉｅ２
）
，
点
Ｐｉ
的坐标为
ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｎｗｐｕ－ｊｏｕｒｎａｌｓ．ｏｒｇ．ｃｎ ／
Ｐｉ（ ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ） ， 则：
Ｐ
ｉ ｅ１
＝ Ｐｉ＋１
－
ｒｅ ｄｉ
× （Ｐｉ＋１
－ Ｐｉ）
Ｐ
ｉ ｅ２
＝ Ｐｉ＋１
－
ｒｅ ｄｉ＋１
×
（ Ｐｉ＋１
－
Ｐｉ＋２）
解，计算得
τ′ｎ＋１ ＝ τ′ｎ －
Ｌ（ τ′ｎ）
－ Ｌ（１������ ０） ｓ（ τ′ｎ）
×
τ
根据速度规划及递推公式计算出各插补点相应
的插值时间，完成各插补点在坐标系 ＯＲ⁃ＵＶＷ 中的 坐标计算。
４） 将插补点的结果换算回世界坐标系下的坐
标值。
设点 Ｐｊ 为二次 Ｂｅｚｉｅｒ 曲线插值段上的插值点， 在世界坐标系下对应的坐标为 Ｐｊ（ ｘｊ，ｙｊ，ｚｊ） ，通过齐 次变换矩阵对点 Ｐｊ 进行换算，解得点 Ｐｊ 在世界坐标 系下的坐标值。
１ 轨迹规划算法
工业机器人的运动轨迹规划既可以在笛卡尔空 间进行，也可以在关节变量空间进行［８］ 。 在关节空间 对运动轨迹进行规划时，机器人运动约束的设定及其
ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｎｗｐｕ－ｊｏｕｒｎａｌｓ．ｏｒｇ．ｃｎ ／
２
机械科学与技术
第 ３５ 卷
轨迹的规划均在关节空间进行，因此有可能会发生运
收稿日期：２０１４ １２ １９ 基金项目：广东省省部产学研项目（ ２０１２Ｂ０９０６０００２８） 、广东省科技
计划项目 （ ２０１１Ａ０９１１０１００１，２０１２Ｂ０１０９０００７６） 及广州市 科技计划项目（２０１４Ｙ２⁃０００１４） 资助 作者简介：张铁（１９６８－） ，教授，博士生导师，博士，研究方向为工业 机器人关键技术的研究及应用，服务机器人关键技术研 究，ｍｅｒｏｂｏｔ＠ ｓｃｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
Ｚｈａｎｇ Ｔｉｅ， Ｈｕａｎｇ Ｘｉａｏｘｉａ
（ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ＆ Ａｕｔｏｍｏｔｉｖｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０６４０， Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｃｏｍｏｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ ｒｏｂｏｔ， ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ ｒｏｂｏｔ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＯｐｅｎＧＬ ａｎｄ ＶＣ＋＋ ｐｒｏｇｒａｍ ｌａｎｇｕａｇｅ． Ｔｈｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒｔ ｉｎ ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｏｆ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｗｅｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｂｅｓｉｄｅｓ， ｔｈｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｐｌａｎｎｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｓｔｕｄｉｅｄ． Ｔｈｅ Ｂｅｚｉｅｒ ｃｕｒｖｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ａｄｏｐｔｅｄ ｔｏ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ ｉｍｐａｃｔ ｔｈｅ ｊｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｅｓ ｐａｔｈ ｏｎ ｍｏｔｉｏｎ ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ． Ａｌｌ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｗｅｒｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｗａｓ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ， ｗｈｉｃｈ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｖｉｓｕａｌ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ．
直线和圆弧是笛卡尔空间中最常见的运动轨
迹，在对空间中单段直线和圆弧进行轨迹规划时，可
以通过始末段采用抛物线过渡，中间段采用线性函
数拟合的方法进行规划，不仅可以简化计算过程，还
可以借助抛物线一阶导数为线性函数，二阶导数为
常数的特点达到加速度恒定的效果［１１］ 。 在对多段
直线相连和直线⁃圆弧相连的运动轨迹进行规划时，