正方形【基础知识精讲】1.什么叫正方形有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.可以看成：(1)有一组邻边相等的矩形(如下图)(2)有一个角是直角的菱形(如下图)(3)一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形2.正方形的性质由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：(1)两组对边分别平行(2)四个角都是直角，四条边都相等(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角(4)两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系(如下图)4.关于正方形的判定(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形)(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形(有一个角是直角的菱形)(3)还可以先判定它是平行四边形，再用(1)或(2)进行判定.【重点难点解析】本节重点是正方形的定义，说明正方形与矩形、菱形的关系，是本节学习的难点，因为它们之间的关系重叠交错，容易混淆.例1 下列命题中，真命题是( )A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.四条边相等的四边形是正方形分析本题主要考查考生应用平行四边形、矩形、菱形、正方形定义解题的能力.命题B、C、D均易找到反例判断它们是假命题.对于命题A，对照平行四边形的定义及平行四边形的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了.已知四边形ABCD是AD∥BC，∠B＝∠D(如图)，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AD∥BC(已知)∴∠A+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠B＝∠D(已知)∴∠A+∠D＝180°(等量代换)∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)例2 如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF⊥BE于F.CF交OB于G，求证：OE＝OG.分析本题是考查正方形的性质、同角的余角相等关系及全等三角形的判定与性质.OG 和OE可分别看作是△OGC与△OEB的最短边，若能证两三角形全等，则命题得证.由正方形性质有OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°而∠1和∠3为∠2的余角，于是∠1＝∠2 证明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC ∴AC⊥BD∴∠COG＝∠BOE＝Rt∠又∵CF⊥BE ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝Rt∠∴∠1＝∠3 ∴△COG≌△BOE ∴OE＝OG例3 下列四个命题中正确的命题是( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④四边相等且对角线相等的四边形是正方形A.①④B.①③C.②③D.③④分析因为命题①就是平行四边形的判定定理3，所以命题①正确.命题④可以理解为是菱形又是矩形的四边形必是正方形.因为四边相等的四边形是菱形，它是特殊的平行四边形，而对角线相等的平行四边形是矩形.因此命题④是正确的命题.因为矩形和菱形都是特殊的平行四边形，而四边形对角线相等或对角线互相垂直不能推出此四边形的对角线互相平分，所以此四边形连平行四边形都不是，就更不可能是矩形或菱形了.因此②、③不正确.解：A例4 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE分析本题考查正方形性质及全等三角形的判定与性质，要证CF、DE互相垂直，只需证明∠DGC＝Ｒt∠，可联想∠3与∠4互余.根据正方形性质，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE ≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°证明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， BE＝BE∴△ABF≌△CBF ∴∠1＝∠2∵AB＝CD， BE＝CE，∠ABE＝∠DCE∴△ABE≌△DCE ∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3 又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE【难题巧解点拨】例1 如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F.求证：(1)DP＝EF；(2)DP⊥EF分析本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力.延长FP交AD于G.注意到AEPG是正方形，要证DP＝EF，只要证△DPG≌△FPE.显然这两个三角形全等条件具备.延长DP交EF于H.由于△DPG≌△FPE，可得∠1＝∠2.而∠３＝∠4，这样可证∠2+∠3＝90°.从而DP⊥EF.证明：(1)延长FP交AD于G，延长DP交EF于H.∵四边形AEPG是正方形，∴PG＝PE＝AE＝AG∵正方形ABCD ∴AB＝ADAD-AG＝AB-AE＝GF-PG即 GD＝PF∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠DGP＝∠FPE＝90°∴△DPG≌△FEP ∴DP＝EF(2)∵△DPG≌△FEP ∴∠1＝∠2又∠3＝∠4，∠1+∠4＝90°∴∠2+∠3＝90°∴PH⊥EF，即DP⊥EF例2 如图，已知正方形ABCD ，以对角线AC 为边作菱形AEFC ，BF ∥AC.求证：∠ACF ＝5∠F.分析 本题考查特殊平行四边形的判定、性质，四边形内角和定理，30°所对直角边的性质的逆用.由题意，要证：∠ACF ＝5∠F ，就是要证∠F ＝∠CAE ＝30°，这样就需构造Rt △.辅助线EH ⊥AC 自然作出，问题变为转证EH ＝21AE ＝21AC.由于AC ＝DB ，变为证EH ＝21BD ，即证矩形BOHE ，证明矩形时，若用四边形判定，一定要证出三个直角.证明：过E 点作EH ⊥AC 于H ，连BD∵正方形ABCD ∴BD ＝AC 且BO ＝21AC ∠BOC ＝90°＝∠DOC ∵BF ∥AC ∴∠EBO ＝∠DOC ＝90°∴四边形BEHO 为矩形 ∴EH ＝BO ＝21AC 又∵菱形AEFC ∴AC ＝AE ∴EH ＝21AE ∴∠CAE ＝30° ∵菱形AEFC ∴∠A ＝∠F ＝30°∴∠ACF ＝∠AEF ＝(360°-2×30°)×21＝150° ∴∠ACF ＝5∠A 例3 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，四边形ACDE 和CBFG 是在△ABC 外的正方形，△ABC 的高CH 所在的直线交DG 于点M ，求证：(1)DG ＝AB (2)CM ＝21DG ，DM ＝MG分析 要证DG ＝AB ，需证△DCG ≌△ACB ，要证CM ＝21DG ，只需证DM ＝MG 证明：(1)∵四边形ACDE 和CBFG 都是正方形 ∴∠DCA ＝∠GCB ＝90°， CD ＝CACG ＝CB(正方形四个角都是直角，四条边相等)又∵∠ACB ＝90°∴∠DCG ＝360°-∠DCA-∠ACB-∠GCB ＝90°＝∠ACB ∴△DCG ≌△ACB ∴DG ＝AB(2)∵△DCG ≌△ACB ∴∠DGC ＝∠ABC又∵MH ⊥AB ∴∠HCB+∠ABC ＝90°∴∠HCB+∠DGC ＝90°∵∠GCB ＝90° ∴∠MCG+∠BCH ＝90°∴∠DGC ＝∠MCG ∴MC ＝MG同理可证：∠MDC ＝∠MCD ∴MC ＝DM ∴MC ＝DM ＝MG ∴MC ＝21DG 【课本难题解答】求证：矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形.(P 159 4.3 B 组) 证明：∵四边形ABCD 为矩形∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°∴∠1＝∠2＝21∠DAB ＝45° ∠3＝∠4＝21∠ABC ＝45°∴∠QMN ＝90° 同理，∠MNP ＝90°， ∠NPQ ＝90°∴四边形MNPQ 为矩形 又∵∠1＝∠3 ∴AM ＝BM∵∠2＝∠4 AD ＝BC ∴△AQD ≌△BNC ∴AQ ＝BN ∴AQ-AM ＝BN-BM即MN ＝MQ ∴四边形MNPQ 为正方形 【命题趋势分析】正方形的定义集平行四边形、矩形、菱形性质于一身，且正方形又是正多边形的典型代表，利用它的这些特殊性，说明边、角相等和直线垂直的重要依据，历来为中考热点，类型多以选择、计算证明等形式出现.【典型热点考题】例1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线平分一组对角分析 本题考查应用正方形、矩形、菱形的性质及其异同点解题的能力.正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，而且这三者又是特殊的平行四边形.弄清楚他们之间的关系就不难判定.只有C 性质正方形具有而菱形不一定具有.其余A 、B 、D 三个性质正方形和菱形都具有.解：C例2 求正方形的对角线与边长的比值分析 正方形的边长与对角线构成了等腰直角三角形，其中斜边是对角线，由勾股定理可求解.解：设正方形边长为a ，由勾股定理得，斜边之长为22a a ＝a 2 ∴对角线边长＝2a a ＝21＝22.∴比值为22例3 某同学根据菱形的面积计算公式，推导出对角线长为a 的正方形面积是S ＝21a 2，对此结论，你认为是否正确?若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来证明.分析 因为正方形是特殊的菱形，所以菱形所具有的性质，正方形都具有.当然，菱形的面积计算公式同样适用于正方形.因此这个结论一定正确.证明：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ＝a又∵正方形是菱形，而菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半， ∴S ＝21×AC ·BD ＝21a 2. 事实上，设正方形边长为x ，由勾股定理可得 a 2=x 2+x 2=2x 2代入上式，得： S ＝21×2x 2＝x 2S ＝x 2就是正方形的面积公式.本周强化练习：【同步达纲练习】一、填空1.正方形既是 相等的矩形，又是有一个角是 的菱形.2.正方形和菱形比较，除具有 的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都 ，对角线 .3.对角线 的四边形是正方形.4.正方形和矩形比较，除具有 的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都 ，对角线 .5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m 的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为 ，面积的和为 .6.如图4.6-12，正方形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、DA 上的点，并且EF ＝AF+CE ，∠BEF ＝∠BEC ，那么∠EBF ＝ 度.7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝度.图4.6-12 图4.6-138.如图4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝度.图4.6-14 图4.6-159.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE 为5，则折痕PQ的长为 .10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .二、选择题1.下列命题是真命题的是( )A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直3.下列命题中，错误的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边是平行四边形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.四个角相等的菱形是正方形4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )A.45°B.55°C.65°D.75°5.下列命题正确的是( )A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形6.下列命题中，假命题是( )A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.梯形的对角线互相平分7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝ECB.BF≠ECC.BF＜ECD.BF＞EC8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )A.50°B.60°C.67.5°D.75°9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH 是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )A.2B.3个C.4个D.5个三、解答题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD 的度数?2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK 的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG⊥CF.4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.5.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.【素质优化训练】如图，M 为正方形ABCD 的AB 边上的中点，MN ⊥DM ，BN 平分∠CBG. 求证：DM ＝MN【生活实际运用】如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O.点O 是正方形A ′B ′C ′O 的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，那么正方形A ′B ′C ′O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的41，想一想这是为什么.【知识探究学习】如图，已知E 是正方形ABCD 的边BC 上的中点，F 是CD 上一点，AE 平分∠BAF ，求证：AF ＝BC+CF.参考答案一、1.邻边相等直角 2.平行四边形相等互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分相等互相垂直 4.平行四边形是直角互相垂直 5.4(2+1)m 3m2 6.45°37.150° 8.112.5° 9.13 10.4二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C三、1.67.5° 2.提示：证△MAD≌△KAB(SAS) 3.提示：证△ABE≌△CBF，再证∠AGC ＝∠ABE＝90° 4.先证△BCF≌△DCF，得：∠CDF＝∠CBF，进而证∠GBF＝∠HBG，得：∠FBG+∠GBH＝∠GBH+∠HBE＝90°，得BF⊥BH 5.提示：延长CB到G，使BG＝FD，证△ABG ≌△ADF，得：∠BAG＝∠DAF，再证△AEF≌△AEG，得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF【素质优化训练】提示：取AD的中点E，连EM.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：延长FC交AE的延长线于H.。