3
3
3
解 (1) sin 4 π sin( π π) sin π 3 ；
3
3
32
(2) cos( 8π ) cos 8π cos（2π 2π） cos 2π
3
3
3
3
cos（π - π） cos π 1；
3
32
(3) tan( 10π ) tan10π tan(π 3π)
3
3
3
(4) sin 870 sin(30 5180) sin(180 30) sin 30 1 ．
2
例5 化简：
sin(2 π ) tan( π) tan( π) . cos(π ) tan(3 π )
sin( ) tan tan( ) cos tan( )
sin tan（ tan cos（ tan )
诱导公式
1. 角与 ＋ k·2 (k Z)的三角函数间的关系
角与 ＋ k·2 (k Z)的终边相同，根据三角
函数定义，它们的三角函数值相等.
y P
MO
公式 （一）
sin(2 k＋ )＝sin ；
cos(2 k＋ )＝cos (k Z) ；
1x
tan(2 k＋ )＝tan .
例1 求下列各三角函数的值：
3
3
3
tan(π π) tan π 3；
3
3
(4) sin 930 sin(30 5180) sin(30 180)
sin 30 1 ． 2
记忆诱导公式的口诀: “函数名不变，符号看象限”．
例4 求下列各三角函数的值：
(1) sin( 55π )； 6
(2) cos11π； 4
(1)sin13； (2) cos19 ； (3) tan405．
2
3
解 (1)
sin 13π sin( π 6π) sin π 1;
2
2
2
(2) cos19π cos( π 6π) cos π 1 ;
3
3
32
(3) tan405 tan(45 360) tan45 1.
2. 角 与 － 的三角函数间的关系
(3) tan( 14π )；
(4) sin 870．
3Байду номын сангаас
解 (1) sin( 55π ) sin( π 9π) ( sin π ) 1；
6
6
62
(2) cos 11π cos( π 3π) cos(π π ) cos π 2 ；
4
4
4
4
2
(3) tan( 14π ) tan(π 5π) tan π 3；
)
tan tan tan2 .
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数，一般按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
用公式（二） 任意正角的 三角函数
用公式（一）
0到360 的角 用公式（三） 的三角函数
锐角三 角函数
教材P146，练习 B 组．
3
3
3
32
3. 角 与 的三角函数间的关系
探究 2 若 与 的终边关于原点对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
y
P(x，y)
+
O－ x
P (-x，-y)
公式 （三）
sin ( ) ＝－sin cos ( ) ＝－cos tan ( ) ＝ tan
诱导公式
探究 3 与 － 的终边关于 y 轴对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
P (-x，y)
y
-
O
P(x，y) x
公式
sin(π ) sin
cos(π ) cos
互为补角的两个角正弦值相等，余弦值互为相反数.
例3 求下列各三角函数的值：
(1) sin 4 π ； (2) cos( 8π )； (3) tan( 10π )； (4) sin 930．
探究 1 若 与 － 的终边关于 x 轴对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
y
P (cos ，sin )
公式 （二）
O －
P (cos (-) ，sin(- ) )
sin sin
x
cos cos tan tan
例 2 求下列各三角函数的值：
（1）sin( π) 6
三角
三
三角
角
函数
5.2.3 诱 导 公 式
角 的终边与单位圆的交点为 P (cos , sin )．
y
P( cos ,sin )
sin
O cos
x
已知任意角 的终边与单位圆相交于点 P (x，y)．
则 点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是 (x，- y) ； 关于 y 轴的对称点的坐标是 ( - x，y) ； 关于原点的对称点的坐标是 ( - x， - y) .
（3）tan( π )； 3
（2）cos( π )； 4
（4）sin( 7π). 3
解 （1）sin( π ) sin π 1；
6
62
（2）cos( π ) cos π 2 ；
4
42
（3）tan( π) tan π 3；
3
3
（4）sin( 7π ) sin 7π sin( π 2π) sin π 3 .