2020年普通高考数学科一轮复习精品学案第22讲任意角的三角函数及诱导公式一•课标要求：1 .任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2.三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（n /2 ±a , n±a的正弦、余弦、正切）。
二.命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。
预测2020年高考对本讲的考察是：1.题型是1道选择题和解答题中小过程；2 .热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。
三.要点精讲1.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。
为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角。
2.终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2k n （k € Z），即{ 3 | 3 =2k n +a, k€ Z},根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，女口a€ { a| — WaW—}=[_,—]。
66663 .弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作 1 rad , 或1弧度，或1（单位可以省略不写）。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-n, -2n等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
角的弧度数的绝对值是：丄，其中，|是圆心角所对的弧长，r是半径。
r角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad。
180弧度与角度互换公式：1rad = 180 °~ 57.30 ° =57° 18'、1〜0.01745 ( rad )。
180OM a 丄MP b cos； tanOP rOM a利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么：(1) y 叫做 的正弦，记做sin ,即sin y ; (2) x 叫做 的余弦，记做cos ,即cos x ； (3)y叫做 的正切，记做tan ,即xtan y (x 0)。
x5 •三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各 种三角函数值的一种图示方法。
利用三角函数线在解 决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等 问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一 定就是1厘米或1米)。
当角 为第一象限角时，则 其终边与单位圆必有一个交点P(x, y)，过点P 作PM x 轴交x 轴于点M ，根据三角函数的定义：|MP | | y | |sin | ； |OM | |x| | cos |。
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关•当角 的终边不在坐标轴时，以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时， OM 的方向为负向，且有正值 x ；其中x 为P 点的横坐标•这样,无论那种情况都有OM x cos同理，当角 的终边不在x 轴上时，以M 为始点、P 为终点，规定：当线段 MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值 y ；当线段MP 与y 轴 反向时，MP 的方向为负向，且有正值 y ；其中y 为P 点的横坐标。
(是圆心角的弧度数)扇形面积公式：S 扣2'|r 2。
4•三角函数定义P(a,b),它与原点的距离r - a 2 b 20 .过P 作x 轴的垂线垂足为M ,则线段0M的长度为a ,线段MP 的长度为b •则sinMPOP弧长公式：丨| | r 在的终边上任取一点这样，无论那种情况都有 MP y sin 。
像MP 、OM 这种被看作带有方向的线段， 叫做有向线段。
请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA 、AT ,我们有tan AT yx我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT ,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
6 •同角三角函数关系式使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角 变换非常重要的方法。
几个常用关系式： sin a +COS a, sin a - cos a, sin a ・cos a ；(三式之间可以互相表示 ) 设血a 十8泊=疋［「広两边平方，得t a -11 + 25in O- • tosO.n srnQ •匕gQ =_-—,一22kk Z2sin —sin sin —sin —sin sin cos coscos—cos—coscoscossin(1)要化的角的形式为 k 180o ( k 为常整数)；X 1 -2乱11° * tosCl =2-t■:I. …=> anCL -= ±72-t\ 同理可以由 sin a — Cos a或 sin a・ cos a 推出其余两式。
② 1 sin21 sin2•③当x0,— 2 时，有 sinx x tanx7 •诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变, 祇d 壬 付号看 象限”。
诱导公式一： sin(2k ) sin , cos( 2k )cos ，其中k Z 诱导公式二： sin (180o )sin ；cos(180o)cos诱导公式三： si n() sin ； cos( ) cos诱导公式四： sin (180o ) sin ； cos(180o )cos 诱导公式五： sin(360o)sin ；cos(360o) cos O如上图,过点A(1,0)作单位圆的切线 ,这条切线必然平行于轴，设它与的终边交于点T ,(3) sin (k n + a )=( — 1) k sin a ； cos(k n + a )=( — 1) k cos a (k € Z); (4) sin x —cos — x cos x — ; cos x —sin —x 。
44 444四. 典例解析 题型1:象限角例1.已知角 45 ; (1)在区间［720 , 0 ］内找出所有与角有相同终边的角k-180 45, k Z 那么两集合的关系是 4有相同终边的角可表示为k 360 0 ， 45 45 3601315(2)因为 M x| x (2 k 1) 45 ,k Z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角 的集合；而集合Nx |x(k 1) 45 ,k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M ? No点评：(1 )从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 有相同终边的角，然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整数 k ，代回求出所求解；(2)可对整数k 的奇、 偶数情况展开讨论。
例 2.若 sin 0 cos 0 >0,贝U B 在( ) A .第一、二象限 B .第一、三象限 C.第一、四象限D.第二、四象限解析：答案：B ;： sin 0 cos 0 > 0,二 sin 0、cos 0 同号。
当sin 0 > 0, cos 0 > 0时，0在第一象限，当 sin 0 v 0, cos 0v 0时，0在第三象限， 因此，选Bo例3 .若 A B 是锐角△ ABC 勺两个内角，则点 P (cos B- si n A , sin B- cos A )在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：••• A B 是锐角三角形的两个内角，••• A + B >90°,二B >90°- A 」. cos B v sin A,(2)集合M 什么？X川NZk4580^1k - 2X解析：(1 )所有与角 则令 720 45得 765 k 360765解得 765 k360从而k 2或k 代回 675或45 k 360 (k Z)，sin B> cos A 故选B o例4 •已知“ 是第三象限角，则 —是第几象限角？3原来是第川象限的符号所表示的区域即为 的终边所在的区域。
3由图可知， 一是第一、三、四象限角。
3点评：已知角的范围或所在的象限，求 一所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和n几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、n 、川、w ，并循环一周，则 (n €N *)的终边所在的区域。
题型2:三角函数定义原来是第几象限的符号所表示的区域即为-n的终边过点(a,2a)(a 0)，求 的四个三角函数值。
tan 2。
解析：由题设知x , 3, y m ，所以r 2 |OP|2 ( 、3)2 m 2 ,解析: 因为过点 (a,2 a)(a 0)，所以 ra,y 2a。
0 时，sin y 2a r ，5|a| 2a ;5a2「5___ .cosx a r ；5a 居,tan 50 时,siny _2a_r -5|a|2a 5acosa_ 、5a解法一：因为是第三象限角，所以 2k2kI k Z ，2k 33•••当k=3m( m € Z )时，一为第一象限角；3当k= 3m + 1 (m € Z )时，一为第三象限角, 3当k= 3m + 2 (m € Z )时，一为第四象限角,3故一为第一、三、四象限角。
3解法二：把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起 依次将各区域标上I 、川、w,并依次循环一周，则已知角例6 .已知角的终边上一点P(、3, m)，且 sin2m 4，求 cos ,sin的值。
得 r ,3 m 2, 从而sin晋解得m 0或166 c 22m m ,5。
0时，r--/3, x3 ,cos-1,tan —；.5时, r 2 2, x .3 ,cos,5时, r 2.2,x.3 ,cosA5o3题型3 :诱导公式 tan 300 +co 咤的值是(sin 405A . 1 + B.c. —1— 3D. — 1 + 々：3解析: 答案: B tan300cos405° sin 4050=ta n(360 60°cos(3600 450) sin(3600 450)tan60 ° + cos45°sin 45°例8. 化简:(1)sin (180° ) sin( )tan (360otan(180o ) cos( ) cos(180o(2) 现型 口(n Z) osin( n )cos( n )解析:(1)原式 sin sin tan tan coscostan tan(2)①当n 2k,k Z 时，原式sin(②当n 2k 1k Z 时，原式迥2k ) sin( 2k )sin( 2k )cos( 2k ) 2 ocos (2k 1) ] sin[ (2k 1)] sin[ (2k 1) ]cos[ (2k 1)]2 ocos点评：关键抓住题中的整数 n 是表示 的整数倍与公式一中的整数 n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。