线性代数
§4.3 相似矩阵
§43 相似矩阵
矩阵之间的一种特殊的等价关系——相似 一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的简单性质 三、方阵与对角阵相似的条件 （两个充要条件、一个充分条件）
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. 证 因此 |BE||P1APE| |P1APP1(E)P| |P1(AE)P| |P1||AE||P| |AE| 即A与B有相同的特征多项式 设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB
1 2 . 2
0 0 1 补充例2 设 A 1 1 x 问x为何值时 矩阵A能对角化？ 1 0 0 0 1 解 | A E | 1 1 x ( 1)2 ( 1) 1 0 得11 231 矩阵A可对角化的充要条件是 对应重根231 有特征值1的重数2等于n-r=3－r(A1×E) 1 0 1 r 1 0 1 因为 A E 1 0 x ~ 0 0 x 1 由 1 0 1 0 0 0 所以当x1时 r(AE)1 此时矩阵A能对角化
|P1||P|=1
二、相似矩阵的简单性质
性质2 相似矩阵的秩相等. （等价矩阵的秩相等.） 性质3 相似矩阵的行列式相等. （如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即|P1AP| |P1| |A| |P| =|B |，故|A| =|B |.) 性质4 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的 逆矩阵也相似。 |A| =|B |,故如果|A| ≠0,则|B| ≠0, 如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即B1= (P1AP) 1= P1A 1 (P 1 ) 1 = P1A 1 P , 即A 1和B 1相似.
二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 如P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1
k 1 k

PBkP1
k个
若B为对角矩阵, 有
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 相似满足下列性质 ( 1) 自反性 A与A相似 E1AEA ( 2) 对称性 若A与B相似 则B与A相似 P1APB => APBP1 ( 3) 传递性 若A与B相似 B与C相似 则A与C相似
2）求特征向量.
练习P123:5(2)1 0 0 1 1 0 1 r2 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 x1 x4 , x4是自由未知量） x2 x4 （ x x 4 3
三、方阵与对角阵相似的条件
定理2(充分必要条件) n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量 推论(充分条件) 若n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 定理3(充分必要条件) n 阶矩阵 A 与对角阵相似 ( 即A 能对角化) 的充分必要条件是 对于 A 的每个特征值 i , 有 i 作为特征值的重数等于对应于 i 的线性无关的特征向量的个数 或i作为特征值的重数等于 n－r(A － i E).
0 0 1 0
0 1 0 r 1 r2 1 r 1 *( 1) 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 0
练习P123:10
祝愿大家考试顺利！
定理3描述 n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为矩阵A每个特征值的 线性无关的特征向量的个数恰好等于特征值的重数.
2 1 1 补充例1讨论A 0 2 0 能否对角化?若能,把它对角化. 4 1 3 解 A的特征多项式为 2 1 1 | A E | 0 2 0 ( 1)( 2)2 4 1 3 所以A的特征值为11 232
对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
对于232 解方程A2E)x0 得基础解系 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T 于是p1 , p2 , p3线性无关,故A能够对角化. 取P=(p1 p2 p3) 则P－1AP=
k 2
. k n
利用对角矩阵 计算矩阵的高次幂
若可逆矩阵P使P 1 AP 为对角矩阵, 则
方阵A与对角阵∧相似
Ak P k P 1 .
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. （课本定理1） 推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则 1 2 n即是A的n个特征值
1 0
0 1 1 0 能否对角化，若能，求出矩阵A的相似对角阵. 0 0
1 0 ( 1) 2 ( 1) 0,
则1 2 1，3 1
1 0 1 x1 0 把1 1代入( E A) x 0得 0 0 0 x2 0 1 0 1 x 0 3 求得基础解系为1 (1,0,1)T ，2 (1,1,0)T .
考试注意事项： 1：分清行列式和矩阵的表示法； 2：分清是相等关系？还是等价关系？注意等 号的使用还是->的使用； 3：大题必须要有详细的解题步骤。 4：认真掌握各类运算规律和性质、定理.
0 练习题 判断矩阵A 0 1 解 1 ）求特征值. 0 令 E A 0 1
1 0 1 x1 0 T 把3 1代入( E A) x 0得 0 2 0 x2 0 , 求得基础解系为3 (1,0,1) . 1 0 1 x 0 3 0 1 1 1 1 令P (1, 2 , 3 ) 0 1 0 ，则P 1 AP 1 . 1 0 1 0 1
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 矩阵等价 mn矩阵A与B等价 A经过有限次的初等变换化为B; 存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB