薄板弯曲问题的有限元法 单元分析
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
结点位移
三个位移分量： 三个位移分量：
∂w ∂w | | − δi = wi 、绕Y轴的转角 挠度、 轴的转角、 挠度、绕X轴的转角 ∂y 轴的转角 轴的转角 ∂x i i
边界条件
固定边： 固定边： 挠度＝ 挠度＝0 边线转角＝ 边线转角＝0 法线转角＝ 法线转角＝0 对称轴： 对称轴： 法线转角＝ 法线转角＝0 简支点： 简支点： 挠度＝ 挠度＝0 简支边： 简支边： 挠度＝ 挠度＝0 边线转角＝ 边线转角＝0
单元刚度矩阵
F =
e
∫∫
B Mdxdy
T
M = Df Bδ
F =
e
e
e
∫∫
B Df Bdxdy ⋅δ
T
T
e
K = ∫∫ B Df Bdxdy
荷载的处理
当薄板承受一般荷载作用时， 当薄板承受一般荷载作用时，可将每一种荷 载分解为两个荷载，分别处理，求应力叠加。 载分解为两个荷载，分别处理，求应力叠加。 对于非结点的横向荷载，利用虚功原理转化 对于非结点的横向荷载， 为等效结点荷载。 为等效结点荷载。
(
)
h M = Dκ 12
3
内力与应力的关系
h M = Dκ = Df κ 12 12 σ = Dz ⋅κ = 3 zM h
表面应力列阵
3
弹性矩 阵
6 σs =σ | h = ± 2 M z =± h 2
内力与应力的关系
M = Df κ
κ = Bδ
M = Df Bδ = Sδ
e e
e
S为内力转换矩阵，大小为3×12 为内力转换矩阵，大小为 × 为内力转换矩阵
−1 e
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移
用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
几何方程
∂u ∂w ε x = = −z 2 ∂x ∂x 2 ∂v ∂w ε y = = −z 2 ∂y ∂y 2 ∂v ∂u ∂ w γ xy = + = −2z ∂x ∂y ∂x∂y
[ [
] ]
E (εx + µε y ) σx = 2 1− µ E (ε y + µε x ) σy = 2 1− µ E τ xy = γ xy 2(1 + µ) E 1− µ = ⋅ ⋅ γ xy 2 1− µ 2
物理方程
σ x 0 ε x 1 µ E ε σ = σ y = µ 1 0 y 2 1− µ 1 − µ γ τ xy 0 0 xy 2
薄板弯曲问题的有限元法 离散化
离散化 是指对连续 结构进行剖 分。
单元分析
单元分析 的任务就是要 建立单元结点 处力学参数之 间的关系。 间的关系。
整体分析
整体分析 的任务是保证 结构从离散状 态恢复原状所 必需的。 必需的。
薄板弯曲问题的有限元法 离散化
各单元之间只在结点处连接；单元的形状， 各单元之间只在结点处连接；单元的形状， 一般采用三角形、矩形或多边形。 一般采用三角形、矩形或多边形。
结点力
三个结点力分量： 三个结点力分量：
δi = W | Tyi 竖向力、 轴的力偶、 竖向力、绕X轴的力偶、| Txi轴的力偶 轴的力偶 i 绕Y轴的力偶
[
]
薄板弯曲问题的有限元法 单元分析
F =K δ
e e
e
单元刚度矩阵，为一 × 的方阵 的方阵。 单元刚度矩阵，为一12×12的方阵。
薄板弯曲问题的有限元法 单元分析
α=A δ −1 e κ = Baα = Ba A δ = Bδ e
−1 e
几何矩 阵
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移
用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
物理方程
挤压应力引起的形变可以略去不计
1 ε x = σ x − µσ y E 1 ε y = σ y − µσ x E 1 2(1 + µ) γ xy = τ xy = τ xy G E
内力与应力的关系
可知， 由B和S可知，单元内任一点的变形和内力 和 可知 都是坐标的函数。 都是坐标的函数。
M = Df Bδ = Sδ
e
将结点坐标代入上式， 将结点坐标代入上式，
e
M =S δ
eHale Waihona Puke e eSe大小为 ×12 大小为12×
虚功方程
{δ } F = ∫∫∫ {ε } σdxdydz *T * T 12 {δ } F = ∫∫∫ z{κ } h3 zMdxdydz
2
εx ε = ε y = κ ⋅ z γ xy
弯扭变形列阵
几何方程
∂ 2 w 2 = 2α4 + 6α7 x + 2α8 y + 6α11xy ∂x 2 ∂ w −κ = 2 = 2α6 + 2α9 x + 6α10 y + 6α12 xy ∂x 2 ∂ w = α + 2α x + 2α y + 3α x2 + 3α y2 5 8 9 11 12 ∂x∂y
*T *T
{δ } F = ∫∫ { }
*T
* T 12 κ M 3 h
∫
h 2 z2dz dxdy h − 2
虚功方程
{δ } F = ∫∫ {κ } Mdxdy
*T *T
{δ }
eT *
F =
e
{δ } ∫∫
T
eT *
B Mdxdy
T
F =
e
∫∫
B Mdxdy
σ = Dε = Dz ⋅κ
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移
用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
Mx = ∫ zσ xdz
h − 2 h 2
Mxy = ∫ zτ xy dz
h − 2 h 2
内力与应力的关系
∂2 w − 2 x Mx 1 µ 0 ∂2 3 Eh µ 1 − ∂ w M = My = 0 2 2 12 1− µ 1− µ ∂y2 Mxy 0 0 − 2 ∂ w 2 ∂x∂y
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩； 薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
∂w = εz = 0 ∂z
w = w(x, y)
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后， 薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线； 板弹性曲面的法线；
位移函数
w(x, y) = α1 +α2 x +L+α12 xy
3
= [ f (x, y)]α
∂w ∂f ( x, y) θx = = α ∂y ∂y
∂w ∂f ( x, y) θ y = − = − α ∂x ∂x
位移函数
δ = Aα
e
α=A δ
−1
e
w(x, y) = [ f ( x, y)]α = [ f (x, y)]A δ
γ xz = γ yz = 0
∂w ∂u + =0 ∂x ∂z
∂w ∂v + =0 ∂y ∂z
位移函数
∂u ∂w =− ∂z ∂x ∂w u = −z + f1( x, y) ∂x
∂v ∂w =− ∂z ∂y ∂w v = −z + f2 (x, y) ∂y
u |z=0 = v |z=0 = 0
∂w ∂w 薄板的中平面，在薄板弯曲后， 薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点 v = −z u = −z w = w(x, y) 没有平行于中平面的位移； 没有平行于中平面的位移∂y ； ∂x
薄板弯曲问题的有限元法
横向荷载作用
薄板弯曲问题的有限元法
基本假设（小挠度） 基本假设（小挠度）
1、薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩； 、薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩； 2、薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄板 、薄板的法线，在薄板弯扭以后， 弹性曲面的法线； 弹性曲面的法线； 3、薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点没 、薄板的中平面，在薄板弯曲后， 有平行于中平面的位移； 有平行于中平面的位移； 4、挤压应力引起的形变可以略去不计。 、挤压应力引起的形变可以略去不计。