分析：手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此 本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出 当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。
如图，第3个球位于最高点，2、4两球等高，由于上半 段平均速度小，下半段平均速度大，故2、4两球位于 半高度的上方。
每个球空中的循球周期
xA xB 2ptg
xAxB p2
xc A o xBs(xAx cB)o 2 4 sxAxBc2o p 2s
T 4 t 4 0 .4 1 .6 s
上升的时间为 tT/20.8s
上升的高度为 h 1.gt2 3.2m
6
2
每隔△t时间抛出一球，共有n个球,试求每个球到达的最大高度 h 每个球从手中抛出后都是经过T=n△t的时间落回手中， 经时间t=T/2= n△t/2上升到最高点，故最大高度
h1gt2 1gn2t2 28
PM 1 at2 2
t2 2PM2PMPN?
a
gPK
P M P N P T 2 c o n sta n t
接下来如何思考呢？
.
13
OPO'
cos PC HR
OP L
(R r)2L 2r22 L rco s
L2R2
L2R2
r2R2Lcos 2H
tmin 2
r g
2(L2 R2) Hg
.
14
关键是确定球心O’
过P点作竖直线AB, 且使AP等于R， 连接A、O，作AO的中垂线与直线AP相 交，交点O’即为所求的球心。
连接O’与O所得交点即为Q. （2）证明线段PQ为所求：略。
题后总结
➢最后的作图方法较困难 ➢本题还可以用分析法解答
.
A R P
Q1
O’
Q
R
O
Q2
B
12
最速路径：例题1
a g PK PN
相关变换：竖直平面内建立直角坐标系xoy，x轴水平，过抛物 线x2 =2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上 端A无初速释放，问滑到轨道底端B所用时间最小为多少？此时 AB与水平面的夹角满足什么条件？
焦点F（0、p/2)
AB的直线方程 y p tgx
2
x2 2py
x22ptg p20
g
3，4，5，6颗子弹和第1颗子弹相遇的时刻
方法二：速率对称法 竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大 小相等，方向相反
(0g t) 0g(tn )
t3 n 2
.
3
方法三：利用图象法 作出子弹的运动的s-t图
.
4
拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球， 若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是 1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其 它三球的高度
.
7
几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性
.
8
例题：摄制电影时，为了拍摄下落物体的特写镜头，做了一个线度为1/49实 物的的模型。放电影时，走片速度为每秒24张，为了使动画逼真，拍摄时走 片速度应为多大？模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？
设实物在时间t内下落的高度为h,而模型用时间t0下落了对应的高度h0,,则 由自由落体公式应有
速度υ0 、位移△s0 ，由于有
t0
1 7
t
s0
1 49
s
. 0 s0 /t0 1
9
s/t 7
二、最速路径问题
何谓最速路径问题？ 著名的“伽利略最速路径问题”：1 伽利略的答案：圆弧曲线（错误） 伯努利兄弟的答案：滚轮曲线的一部（分正确）
最速路径问题
➢寻找一条运动时间最短的路径 ➢从两条路经中找出运动时间较短的一条
高中物理竞赛培训——运动学部分
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1
一、数形结合处理竖直上抛
对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理， 物理过程将大大简化，计算快速便捷。竖直上抛的统一物理 公式是
x
0t
1 2
gt2
位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。
.
2
例题一个以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1秒抛出一球，
假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（1） 最多能有几个球在空中？（2）设在t=0时将第1个球抛出，在哪 些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？
h
1 2
gt2
h
0
1 2
g
t
2 0
利用的辅助条件 h 0 1
h
49
t0
1 7
t
可见放电影时应将模型运动时间“放大”7倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真
的画面。为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7倍。
2 4 张 /秒 7 1 6 8 张 /秒
又设实物在某段时间△t内以速度υ通过位移△s，而模型与之对应的量则分别是时间△t0 、
分析：子弹同地出发，设第一颗子弹射出t后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹在 空中的时间为t-n(n=1,2…)
方法一：位移相等法 子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得
考0t虑 到1 2g t pt22 0 0 (6tsn)则n1 2 =g 1(,2t, 3,n 4),2 5时所对应t的t为 33.5s,n24s,4.5s,5,5.5s分别为第2，
证明：Biblioteka 任取一条轨道PQ，PQ和水平面夹角为φ.
PQ的长为 l2Rsin
下滑的加速度 g//gsin
所以 tPQ
2l 4Rsin R g// gsin 2 g
由于 t P Q 与φ无关，故对应任意轨道的时间均相同。
P g//
g φ Qφ
.
11
最速路径：例题1
解原题： 以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于Q， 则线段PQ即为所求的轨道。 （1）作图确定线段PQ：
问题1、如图所示，地面上有一固定的球面， 球面的斜上方P处有一小球。现要确定一条从P到 球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨 道滑行到球面所历的时间最短。
分析： 先凭直觉猜一猜结果？
.
A
B P
×？？ ？
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最速路径：例题1
先讨论
预备问题、 如图，地面附近有一空心球，过顶点P 有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意 轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。
分析：每个球上升的最大高度都是1.25m，故各球在空中运动的时间都是1s
要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一 球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，
各球在手中停留的时间都是1/3s
.
5
学生练习：一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。每隔0.4s 抛出一球，接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的 时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。