2π
0
z z 1 z z 1 1 R(cos ,sin ) d R( , ) dz C 2 2i iz
z z 1 z z 1 1 当有理函数 f ( z ) R( , ) 在圆周 C ： z 1 的 2 2i iz 内部有 n 个孤立奇点 zk (k 1, 2, , n) 时，则由留数定理有
故
I
dx (2n 2)! (2n 2)! 2 i{ i} 2 n 2 i 2 2 2 n 1 2 x 1 [(n 1)!] 2 2 [(n 1)!]

数学物理方法
计算 I
例 4.2.6


0
1 dx 的值。 2 n ( x 1)
2 n
解：被积函数 1
0
又因为 Q( z ) 的次数比 P ( z ) 的次数高两次，所以
zP( z ) lim zf ( z ) lim 0 z z Q ( z ) 因此，对于任给的 0 ，当 z R 充分大时，有
zf ( z ) f ( Rei ) Riei
数学物理方法

2π
0
R(cos ,sin ) d 2πi Res[ f ( z ), zk ]
k 1
n
数学物理方法
例 4.2.1 求 I
【解】 令 z ei ，则

2π
0
d 的值. 2 cos
1 dz 2 1 I |z|1 z 2 1 iz i |z|1 z 2 4 z 1dz 2 2z 1 被积函数 f ( z ) 2 在 z 1 内只有单极点 z 2 3 ，故 z 4z 1 2 I 2πi Res f ( z ), 2 3 i 2 1 4π lim z (2 3) z 2 3 z 4 z 1 2π 3
P( x) 为偶函数，则 Q( x)
特别地，若对应实函数 f ( x)


0
f ( x) d x πi
Im zk 0

Res[ f ( z ), zk ]
数学物理方法
计算 I
例 4.2.4



1 dx 的值。 2 x 1
解： f ( z )
1 1 ， 它具有两个单极点 i ， 2 z 1 ( z i )( z i )
( x 1)
是偶函数，故有

因而

0
0 1 1 dx dx 2 n ( x 2 1) n ( x 1)
I

0
1 1 1 dx dx 2 n ( x 2 1) n ( x 1) 2
数学物理方法
计算 I
例 4.2.7



x2 dx 2 2 2 2 ( x a )( x b )
数学物理方法
证明 若令 z ei , 则
ei e i z z 1 ei ei z z 1 cos sin 2 2 2i 2i dz iei d izd i 并且由变换 z e 知，当 从0变到 2π 时， z 恰好沿单位圆周 C ： z 1 的正向绕一周，所以有
数学物理方法
例 4.2.2 求

2π
0
d (0 1) 的值。 2 1 2 cos
解： 令 z ei ，则
1 dz i I |z|1 1 ( z z 1 ) 2 iz |z|1 ( z 1)( z )dz
1 2i 1 2 2i 解： 令 z e ，由于 cos 2 (e e ) ( z z 2 ) ，因此 2 2 z 2 z 2 1 dz z4 1 I 1 |z|1 2 |z|1 2iz 2 (1 pz)( z p)dz zz iz 1 2 p p2 2 z4 1 设 f ( z) 2iz 2 (1 pz )( z p ) 在积分区域 z 1 内函数 f ( z ) 有二个极点 z 0, z p ，其中 z 0 为 二阶极点， z p 为一阶极点，而
被积函数在 z 1 内只有单极点 z0 ，其留数为
Re sf ( ) lim
z
i i 2 z 1 1
故由留数定理有
1 I 2 1 2
数学物理方法
例 4.2.3 求 I
i

2π
0
cos 2 d 1 2 p cos p 2
(0 p 1) 的值。
数学物理方法
4.2.1

2
0
R(cos ,sin ) d 型积分
这是一个实变量的积分， 要用留数计算， 可按上面步骤进行 讨论。 定 理 设 f ( z ) R(cos ,sin ) 为 cos ,sin 的 有 理 函 数，且在 [0, 2 ] 上连续，则

2
1 p2 2ip 2 1 p4 Res[ f ( z ), p] lim[( z p) f ( z )] z p 2ip 2 (1 p 2 )
因此
I 2πi Res[ f ( z ), 0] Res[ f ( z ), p] 1 p2 1 p4 2πi 2 2ip 2ip 2 (1 p 2 ) 2πp 2 1 p2
z

（2） Q( z ) 在实轴上没有零点； 则有
P( z ) P( x) Q( x) d x 2πiIm0 Res Q( z ) , zk zk

（4.2.2）
P( x) 特别地，若对应实函数 f ( x) 为偶函数，则 Q( x)


0
f ( x) d x πi
从而

即 故
CR
f ( z )dz f (Rei ) Riei d π
0
π
z R CR
limLeabharlann f ( z)d z 0



f ( x) d x

P( x) d x 2πi Res[ f ( z ), zk ] Q( x) Im zk 0
数学物理方法
P( x) 4.2.2 d x 型积分 Q ( x ) P( z ) 定理 设 f ( z) 为有理函数，其中 P( z ), Q( z ) 为互质多项式， Q( z )
并且 （1）分母 Q( z ) 的次数至少比 P ( z ) 的次数高两次； （或表为 lim zf ( z ) 0 ）
Im zk 0

Res[ f ( z ), zk ]
数学物理方法
证明：在 z 平面上，选取积 分 路 径 C 为 上 半 圆 周 CR ：
y
z R, Im( z ) 0 和实轴上线段
R x R, Im( z ) 0 围
成的闭曲线（如右图所示） 在 。 实 轴 上 被 积 函 数 即 为
数学物理方法
Res[ f ( z ), 0] lim d 2 [ z f ( z )] z 0 d z ( z pz 2 p p 2 z ) 4 z 3 (1 z 4 )(1 2 pz p 2) lim z 0 2i( z pz 2 p p 2 z ) 2
cos( x )d x, e
ax
2


0
sin( x2 )d x ； 热 传 导 问 题 中 需 要 计 算
0
cos( bx
x ；阻尼振动问题中需要计算积分 ) d


0
sin x dx x
等．我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的 技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往 往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿——莱布 尼兹公式计算．可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可 以转化为复变函数的环路积分（注意到当积分路径沿实轴时， ， 则积分显得方便易求。 z x 即对应于实积分） 再利用留数定理，
z 平面 z k z1
·
CR
z3 z 2
R x
P( x) 。 取 R 充分大， Q( x) 使 C 所围区域包含 f ( z ) 在上半平面内的一切（有限）孤 立奇点，即包含满足条件 Im( zk ) 0 的奇点。故由留数定 f ( x)
理得到

C
f ( z ) d z 2πi
(a 0, b 0) 的值。
z2 解： f ( z ) 2 的分母多项式次数高于分子多项式次数 2 2 2 ( z a )( z b ) 两次，它在上半平面内有两个单极点 z1 ai, z2 bi ，所以
I 2πi Res[ f ( z ), ai] Res[ f ( z ), bi] a b 2πi 2 2 2 2 2i(a b ) 2i(b a ) π ab
数学物理方法
利用留数定理计算实积分
f ( x)dx 一般可采用如下步骤：
（1）添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线； （2）选择一个在围线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数 F ( z ) ，使得满足 F ( x) f ( x), 通常选用 F ( z ) f ( z ) ，只有少数例 外； （3）计算被积函数 F ( z ) 在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数， 然后求出这些留数之和； （4）计算辅助曲线上函数 F ( z ) 的积分值。通常我们选择辅助 线使得积分简单易求，甚至直接为零。
数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第四章 留数定理
1、留数定理
数学物理方法