一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知抛物线26y x x c =-++.(1)若该抛物线与x 轴有公共点,求c 的取值范围;(Ⅱ)设该抛物线与直线21y x =+交于M ,N 两点,若MN =C 的值; (Ⅲ)点P ,点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点,,PA QB 都垂直于x 轴,垂足分别为A ,B ,若OPA OQB ∆≅∆,求c 的取值范围.【答案】(I )9c -;(Ⅱ)2c =-;(Ⅲ)c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点,则判别式为非负数,列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点,并根据勾股定理求出MN 的长度,列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知,P ,Q 两点的坐标特点,设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ,则点Q 的坐标为(,)n m ,代入二次函数,得到n,m 的关系,则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解:(I )∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点,∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
240b ac ∴∆=-,即264(1)0c -⨯-⨯.解得9c -(Ⅱ)根据题意,设()()1122,21,,21M x x N x x ++由2621y x x c y x ⎧=-++⎨=+⎩,消去y ,得2410x x c -+-= ①. 由2(4)4(1)1240c c ∆=---=+>,得3c >-.∴方程①的解为1222x x ==()()()()22221212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+⎡⎤⎣⎦ 20(3)20c ∴+=,解得2c =-(Ⅲ)设点P 的坐标为(, )m n ,则点Q 的坐标为(,)n m ,且0,0,m n m n >>≠,2266m m c n n n c m⎧-++=∴⎨-++=⎩,两式相减,得227()0n m m n -+-=,即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=,即7n m =-2770m m c ∴-+-=,其中07m <<由0∆,即274(1)(7)0c -⨯-⨯-,得214c -.当214c =-时,72m n ==,不合题意。
又70c ->,得7c <. ∴c 的取值范围是2174c -<< 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式,数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键,属于中考压轴题.2.在平面直角坐标系中,O 为原点,抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -,对称轴为直线l ,点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴,交y 轴于点C .(Ⅰ)求该抛物线的解析式及对称轴;(Ⅱ)点P 在y 轴上,当PA PB +的值最小时,求点P 的坐标; (Ⅲ)抛物线上是否存在点Q ,使得13AOC AOQ S S ∆∆=,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;(Ⅱ)P 点坐标为9(0,)4-;(Ⅲ)存在,Q 点坐标为或(-,理由见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)将3)A -点代入二次函数的解析式,即可求出a ,再根据对称轴的公式即可求解.(Ⅱ)先求出B 点胡坐标,要求PA PB +胡最小值,只需找到B 关于轴的对称点1B ,则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ,根据待定系数法求出AB 1的解析式,令y=0,即可求出P 点的坐标.(Ⅲ)设点Q 的坐标,并求出△AOQ 面积,从而得到△AOQ 面积,根据Q 点胡不同位置进行分类,用m 及割补法求出面积方程,即可求解. 【详解】(Ⅰ)∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -,∴232a -=⨯-12a =,∴抛物线的解析式为212y x x =,∵212222b x a =-=-=⨯, ∴抛物线的对称轴为直线x =(Ⅱ)∵点(0,0)O,对称轴为x =, ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B,得1(B -, 设直线AB 1的解析式为y kx b =+,把点3)A -,点1(B -代入得30bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩,解得94k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴94y x =-.∴直线944y x =--与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-, ∵P 点坐标为9(0,)4-.(Ⅲ)∵3)A -,//AC x 轴,∴AC =3OC =,∴113222AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=, 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=,∴32AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)2m m , 如图情况一,作QR CA ⊥,交CA 延长线于点R ,∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形,∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m -=,解得133m =,223m =-.如图情况二,作QN AC ⊥,交AC 延长线于点N ,交x 轴于点M , ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形, ∴2211331133(3m)3()2222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+-=,化简整理得23180m m --=, 解得133m =,223m =-, ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-, ∴抛物线上存在点Q ,使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质,以及求两边和的最小值,面积等常见的题型,计算量较大,但难度不是很大.3.如图,已知抛物线经过点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M .(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标. 【答案】(1)y=-21x 2+32x+2;(2)存在,Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐点,A 1的横坐标是1,12. 【解析】 【分析】(1)把点A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q 点的坐标. (3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),①当A 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是2; 【详解】解:(1)设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ,将点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)代入解析式,∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩, ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴y=-21x 2+32x+2;(2)∵点C 与点D 关于x 轴对称, ∴D (0,-2).设直线BD 的解析式为y=kx-2. ∵将(4,0)代入得:4k-2=0, ∴k=12. ∴直线BD 的解析式为y=12x-2. 当P 点与A 点重合时,△BQM 是直角三角形,此时Q (-1,0);当BQ ⊥BD 时,△BQM 是直角三角形, 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8, ∴-2x+8=-21x 2+32x+2,可求x=3或x=4(舍) ∴x=3;∴Q (3,2)或Q (-1,0); (3)两个和谐点; AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1), ①当A 1、C 1在抛物线上时,∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩,∴x 1y 3=⎧⎨=⎩,∴A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴A 1的横坐标是12;【点睛】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.4.如图1,抛物线经过平行四边形的顶点、、,抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点,设点的横坐标为.(1)求抛物线的解析式; (2)当何值时,的面积最大?并求最大值的立方根;(3)是否存在点使为直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3;(2)当t=时,△PEF 的面积最大,其最大值为×,最大值的立方根为=;(3)存在满足条件的点P,t的值为1或【解析】试题分析:(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标,由抛物线的对称性可求得E点坐标,从而可求得直线EF的解析式,作PH⊥x轴,交直线l于点M,作FN⊥PH,则可用t表示出PM的长,从而可表示出△PEF的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况,当∠PAE=90°时,作PG⊥y轴,利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;当∠APE=90°时,作PK⊥x 轴,AQ⊥PK,则可证得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值.试题解析:(1)由题意可得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵A(0,3),D(2,3),∴BC=AD=2,∵B(﹣1,0),∴C(1,0),∴线段AC的中点为(,),∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,∴直线l过平行四边形的对称中心,∵A、D关于对称轴对称,∴抛物线对称轴为x=1,∴E(3,0),设直线l的解析式为y=kx+m,把E点和对称中心坐标代入可得,解得,∴直线l的解析式为y=﹣x+,联立直线l和抛物线解析式可得,解得或,∴F(﹣,),如图1,作PH⊥x轴,交l于点M,作FN⊥PH,∵P点横坐标为t,∴P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+),∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)=﹣t2+t+,∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•(FN+EH)=(﹣t2+t+)(3+)=﹣(t﹣)+×,∴当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,∴最大值的立方根为=;(3)由图可知∠PEA≠90°,∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,①当∠PAE=90°时,如图2,作PG⊥y轴,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=45°,∴∠PAG=∠APG=45°, ∴PG=AG ,∴t=﹣t 2+2t+3﹣3,即﹣t 2+t=0,解得t=1或t=0(舍去), ②当∠APE=90°时,如图3,作PK ⊥x 轴,AQ ⊥PK ,则PK=﹣t 2+2t+3,AQ=t ,KE=3﹣t ,PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t , ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°, ∴∠PAQ=∠KPE ,且∠PKE=∠PQA , ∴△PKE ∽△AQP , ∴,即,即t 2﹣t ﹣1=0,解得t=或t=<﹣(舍去),综上可知存在满足条件的点P ,t 的值为1或.考点:二次函数综合题5.如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .(1)若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为223y x x =--+,直线的解析式为3yx .(2)(1,2)M -;(3)P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)2+-或317(1,)2--.【解析】分析:(1)先把点A ,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ,c 的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a ,b ,c 的值即可得到抛物线解析式;把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ,解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ,此时MA+MC 的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y 的值,即可求出点M 坐标;(3)设P (-1,t ),又因为B (-3,0),C (0,3),所以可得BC 2=18,PB 2=(-1+3)2+t 2=4+t 2,PC 2=(-1)2+(t-3)2=t 2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标.详解:(1)依题意得:1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-,且抛物线经过()1,0A , ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+,得303m n n -+=⎧⎨=⎩,解之得:13m n =⎧⎨=⎩,∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.(2)直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ,则此时MA MC +的值最小,把1x =-代入直线3y x =+得2y =,∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. (注:本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小,所以答案未证明MA MC +的值最小的原因).(3)设()1,P t -,又()3,0B -,()0,3C ,∴218BC =,()2222134PB t t =-++=+,()()222213610PC t t t =-+-=-+, ①若点B 为直角顶点,则222BC PB PC +=,即:22184610t t t ++=-+解得:2t =-,②若点C 为直角顶点,则222BC PC PB +=,即:22186104t t t +-+=+解得:4t =,③若点P 为直角顶点,则222PB PC BC +=,即:22461018t t t ++-+=解得:13172t +=,23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.6.如图,抛物线y=ax 2+bx 过点B (1,﹣3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x 轴的正半轴交于点A .(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y≤0时,自变量x 的取值范围; (2)在第二象限内的抛物线上有一点P ,当PA ⊥BA 时,求△PAB 的面积.【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ,自变量x 的取值范图是0≤x≤4;(2)△PAB 的面积=15. 【解析】 【分析】(1)将函数图象经过的点B 坐标代入的函数的解析式中,再和对称轴方程联立求出待定系数a 和b ;(2)如图,过点B 作BE ⊥x 轴,垂足为点E ,过点P 作PE ⊥x 轴,垂足为F ,设P (x ,x 2-4x ),证明△PFA ∽△AEB,求出点P 的坐标,将△PAB 的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积. 【详解】(1)由题意得,3 22a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩==,解得14ab-⎧⎨⎩==,∴抛物线的解析式为y=x2-4x,令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或4,结合图象知,A的坐标为(4,0),根据图象开口向上,则y≤0时,自变量x的取值范围是0≤x≤4;(2)如图,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E,过点P作PE⊥x轴,垂足为F,设P(x,x2-4x),∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=,即244213x x x--=-,解得,x= −1,x=4(舍去)∴x2-4x=-5∴点P的坐标为(-1,-5),又∵B点坐标为(1,-3),易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为(14,0)∴S△PAB=115531524⨯⨯+=【点睛】本题是二次函数综合题,求出函数解析式是解题的关键,特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出,利用点的坐标求三角形的面积是关键.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3);(3)符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139),【解析】分析:(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;再确定C(0,3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式;(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标;(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3,再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==得此时P点坐标;当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标.详解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,∴﹣2a=2,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩,解得33pq=⎧⎨=⎩,∴直线AC的解析式为y=3x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(﹣3,0),∵MB=MB′,∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,∴此时△BDM的周长最小,易得直线DB′的解析式为y=x+3,当x=0时,y=x+3=3,∴点M的坐标为(0,3);(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,∵直线AC的解析式为y=3x+3,∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b,把C(0,3)代入得b=3,∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3,解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==,解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则此时P点坐标为(73,209);过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,把A(﹣1,0)代入得13+b=0,解得b=﹣13,∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13,解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩==,解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则此时P点坐标为(103,﹣139).综上所述,符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标;理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题;会运用分类讨论的思想解决数学问题.8.复习课中,教师给出关于x 的函数(k是实数).教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.学生思考后,黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选择如下四条:①存在函数,其图像经过(1,0)点;②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数;教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由,最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真,②假,③假,④真,理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析:根据方程思想,特殊与一般思想,反证思想,分类思想对各结论进行判断.试题解析:①真,②假,③假,④真.理由如下:①将(1,0)代入,得,解得.∴存在函数,其图像经过(1,0)点.∴结论①为真.②举反例如,当时,函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时,二次函数(k是实数)的对称轴为,∴可举反例如,当时,二次函数为,当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大.∴结论③为假.④∵当时,二次函数的最值为,∴当时,有最小值,最小值为负;当时,有最大值,最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想,特殊与一般思想,反证思想,分类思想考点:1.曲线上点的坐标与方程的关系;2.二次函数的性质;3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.9.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0),与y轴交于C.(1)若m=﹣3,求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴;(2)如图1,在(1)的条件下,设抛物线的对称轴交x轴于D,在对称轴左侧的抛物线上有一点E,使S△ACE=S△ACD,求点E的坐标;(3)如图2,设F(﹣1,﹣4),FG⊥y于G,在线段OG上是否存在点P,使∠OBP=∠FPG?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4;对称轴是:直线x=﹣1;(2)点E的坐标为E(﹣4,5)(3)当﹣4≤m<0或m=3时,在线段OG上存在点P,使∠OBP=∠FPG.【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求二次函数的解析式,并配方求对称轴;(2)如图1,设E(m,m2+2m﹣3),先根据已知条件求S△ACE=10,根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值,并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E,则点E 的横坐标小于﹣1,对m的值进行取舍,得到E的坐标;(3)分两种情况:①当B在原点的左侧时,构建辅助圆,根据直径所对的圆周角是直角,只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG,如图2,求出圆E与y轴有一个交点时的m值,则可得取值范围;②当B在原点的右侧时,只有△OBP是等腰直角三角形,△FPG也是等腰直角三角形时满足条件,直接计算即可.试题解析:(1)当m=﹣3时,B(﹣3,0),把A(1,0),B(﹣3,0)代入到抛物线y=x2+bx+c中得:,解得,∴抛物线的解析式为:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4;对称轴是:直线x=﹣1;(2)如图1,设E(m,m2+2m﹣3),由题意得:AD=1+1=2,OC=3,S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10,设直线AE的解析式为:y=kx+b,把A(1,0)和E(m,m2+2m﹣3)代入得,,解得:,∴直线AE的解析式为:y=(m+3)x﹣m﹣3,∴F(0,﹣m﹣3),∵C(0,﹣3),∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m,∴S△ACE=FC(1﹣m)=10,﹣m(1﹣m)=20,m2﹣m﹣20=0,(m+4)(m﹣5)=0,m1=﹣4,m2=5(舍),∴E(﹣4,5);(3)如图2,当B在原点的左侧时,连接BF,以BF为直径作圆E,当⊙E与y轴相切时,设切点为P,∴∠BPF=90°,∴∠FPG+∠OPB=90°,∵∠OPB+∠OBP=90°,∴∠OBP=∠FPG,连接EP,则EP⊥OG,∵BE=EF,∴EP是梯形的中位线,∴OP=PG=2,∵FG=1,tan∠FPG=tan∠OBP=,∴,∴m=﹣4,∴当﹣4≤m<0时,在线段OG上存在点P,使∠OBP=∠FPG;如图3,当B在原点的右侧时,要想满足∠OBP=∠FPG,则∠OBP=∠OPB=∠FPG,∴OB=OP,∴△OBP是等腰直角三角形,△FPG也是等腰直角三角形,∴FG=PG=1,∴OB=OP=3,∴m=3,综上所述,当﹣4≤m <0或m=3时,在线段OG 上存在点P ,使∠OBP=∠FPG .考点:二次函数的综合题.10.如图,已知抛物线2y ax bx c =++(a≠0)经过A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,﹣3)三点,直线l 是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P 是直线l 上的一个动点,当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时,求点P 的坐标;(3)点M 也是直线l 上的动点,且△MAC 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M 的坐标.【答案】(1)223y x x =--;(2)P (1,0);(3).【解析】试题分析:(1)直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可; (2)由图知:A .B 点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知,直线l 与x 轴的交点,即为符合条件的P 点;(3)由于△MAC 的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ;可先设出M 点的坐标,然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长,再按上面的三种情况列式求解.试题解析:(1)将A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,﹣3)代入抛物线2y ax bx c=++中,得:0{9303a b c a b c c -+=++==-,解得:1{23a b c ==-=-,故抛物线的解析式:223y x x =--.(2)当P 点在x 轴上,P ,A ,B 三点在一条直线上时,点P 到点A 、点B 的距离之和最短,此时x=2ba-=1,故P (1,0); (3)如图所示:抛物线的对称轴为:x=2ba-=1,设M (1,m ),已知A (﹣1,0)、C (0,﹣3),则:2MA =24m +,2MC =2(3)1m ++=2610m m ++,2AC =10;①若MA=MC ,则22MA MC =,得:24m +=2610m m ++,解得:m=﹣1; ②若MA=AC ,则22MA AC =,得:24m +=10,得:m=6;③若MC=AC ,则22MC AC =,得:2610m m ++=10,得:10m =,26m =-; 当m=﹣6时,M 、A 、C 三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;综上可知,符合条件的M 点,且坐标为 M (16)(1,6-)(1,﹣1)(1,0).考点:二次函数综合题;分类讨论;综合题;动点型.。