[t]=0.8~1.0[s] (铸铁，脆性)
22
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2.刚度条件
扭另，单 （转一即位 弧圆方还统度轴 面 须一转必 ， 满为 换须 轴 足为/满 类 刚角m足零度，强件条）则度若件有条变。：件形q ，过max以大保，GT证则I 不不破能18坏正0o；常工[q作]
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GI 单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GI
11
讨论：试作扭矩图
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m o
x
10kN.m 10kN.m 40kN.m 20kN.m A
B
CD
o
x
A BC D
+ 向 按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m + 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
T图
T / kNm
20
T图
A
B
C
D
M0
M0
T
取左边部分
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
T M0 T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
M0
T
正
M0
T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
7
简捷画法：
FN图（轴力）
2kN 8kN
T图
5kN
5kN 2kN 8kN
5kN
+向
5kN
3kN
+
FN 图
- 5kN
10kN m 10kN m
o
x
A
C B 20kN m
+ 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
A
B
C
8
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为NA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 NB=NC=120kW，ND=160kW。试作轴的扭矩图。
AD段 T3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
10
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN.m
C B
1.64
2.18 AD 3.28
简捷画法：
M A 5460N m M B M C 1640N m M D 2180N m
6
画扭矩图：
10kN m 10kN m
AB段：10kN m
o
x
A
C B 20kN m
TAB
T / kNm
20
BC段：TBC TAB 10kN m
10
A
B
C
M BC 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。
d
D
17
讨论：
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
T
ooooTTT
18
8.3.4 圆轴的扭转变形
相对扭转角 ：B截面相对于 AB
A截面的扭转角。若AB=L，则
100
B
C
20
2) 计算各段应力:
MA f18 MB
MC
f2 4 f2 2
BC段： N-mm-Mpa单位制
A 1000 B
t max 2

T2 WT 2

D23
T2 [1 -
d
]
16
D2
T /N.m
150
C
1000 100

100103 16
223 [1- (18 / 22)
4
]

86.7MPa
A
B
C
故 tmax=86.7Mpa
3) 计算扭转角AC
AC

TAB l AB + T BC lBC
GI AB
GI BC
0 .183 rad
21
8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 1.强度条件 拉压
s max FN / A [s ] t max T /WT [t ]
[t]=0.5~0.6[s] (钢材，延性) [t]与[s]之关系：
32
WT
D3 ( 1- 4)
16
WT
D3
16
16
结论：
1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。
2） 截面任一处截面外圆周处（表面）
t=T/I
tmax=T/WT
实 心
tmax t
圆
oT
轴
D
tmax
空
T
t
心
圆
o
轴
解: 1) 画扭矩图。
MA f18 MB
MC
f2 4 f2 2
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-Mpa单位制
A
1000 B 1000 C
t max 1

T1 WT 1

D13
T1 [1 -
d
]
16
D1
T /N.m
150

150103 16
243
[1
-
(18
/
24)4

]
A
80.8MPa
=71mm 取 D=78mm
27
小结 杆的拉压 圆轴扭转
强度 设计
s

FN A
[s ]
t
max

T WT
[t ]
抗扭截 面模量：
实心轴
WT

D3
16
空心轴
WT

D3
16
(1- 4 )
刚度 设计
q T 180o [q ] GI
极惯性矩：实心轴
I

D 4
32
空心轴
I
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题和弹塑性问题
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工程构件分类:
杆
杆的基本变形:
板
块体
y x
z
轴向拉压
扭转
弯曲
2
8.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆
受力特点： 作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程:
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
M
A

9.55
NA n
9.55 400 5.46kN m 700
MB

MC

9.55
NB n

9.55 120 700
1.64kN m
MD

9.55
ND n

9.55
160 700

2.18kN m
9
MB MC
g
A
AB
B
T
L
若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则
T/GI=const. , 故有： AB T L / GI
单位扭转角为：
d / dx T / GI
GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 19
例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m MC=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
7510-3(m) 75mm
25
2) 按刚度设计，有：
q max

T GI
180o


T
GD4 / 32
180o

[q
]
则有： 4 D
32
M 180°
max

G 2[q ]
4
32 3280 180
80109 2 1
69.9 10-3 (m) 70 mm N-m-pa单位制
(1
]
-

2
)
/
1
D

3
16 T max
(1- 4)[t ]
3

16 3280 (1 - 0.54 )40 106
=76.4mm
按刚度设 计，有：
q max
T
G D 4 (1 - 4 ) / 32
180 o

[q ]
则有：
D

4
32 3280180
80109 2 (1- 4 ) 1
解: 1) 画扭矩图。
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
2) 按强度设计，有：
t max
T WT


T D
3/16

[t
]
MB MC
B
C
T /kN.m