●二项分布的递推公式：
P(0) (1 p) n nx p P( x 1) P( x) x 1 1 p
一、 离散型分布
（2）举例
车辆数/间隔 <3 3 m=7.469 S2=3.999 S2/m=0.535 4 5 6 观测频率 0 3 0 8 10 理论频率（二 项分布）
0.3 1.0 2.9 6.2 9.8 12.3 12.1 9.4 5.8 2.8 1.0 0.4
上，常常要求计算某一范围事件的概论。
●泊松分布各项可以总起来得出每周期期间少于或多于x辆车的概率。例如：
交通技术人员需要计算在已知的周期期间2辆车或少于2辆车到达的概率？ 解：也就是车辆数0，1，2到达的概率的总和，即：
mi e m P( x 2) i! i 0
2
一、 离散型分布
(t ) e P( x) x!
x
t
me P( x) x!
x m
x 0,1,2,
P(x)为在计数周期t期间x辆车到达的概率
λ为平均到达率（辆/妙）
t为每个计数周期的持续时间（妙） m= λt为在持续时间t周期内平均到达的车辆数
一、 离散型分布
（1）用泊松分布拟合观测数据
当泊松分布拟合到观测数据时，参数m的计算：
e
26 19 16
t / T
值，拟合
车间时距t观测 累积频率，≥t
H，期望的车间时 距数（≥t） 35.7 31.9 28.5
3
4 5 6 7
149
136 125 111 95
153
136.7 122.2 109.4 97.8
19
20 21 22 23
14
11 10 9 8
25.5
22.7 20.3 18.2 16.3
P( h t ) e
Vt / 3600
从该关系可见，在随机车流状况下，大于任何已知值的车间时距数将按指数 曲线分布，为负指数分布，简称为指数分布
二
连续型分布
Vt / 3600
P( h t ) e
上式中m或Vt/3600是到达（计数）概率分布的平均数。如果使m=t/T，T是 间隔（车间时距）概率分布的平均数=3600/V。这样车间时距等于或大于t 的概率可以写成：
一、 离散型分布
●在180个10秒内有111辆车到达,小时交通量:
●第3栏由第1栏乘以第2栏得到; ●理论频率的计算:
222
m xem 理论频率 （总的观测频率） x! 总的车辆到达数量 111 m 总的观测频率 180
x为第一栏中的数值
一、 离散型分布
（2）累积泊松分布
●上面讨论的是对待特定事件（即给定恰好x辆车到达）出现的概论，实际
到达数量至少是l但不超过n的概率：
到达数量大于或等于k的概论：
P( x k ) 1 P( x k )
mi e m 1 i! i 0
i k 1
mi e m P(l x n) i! i l
i n
一、 离散型分布
（3）泊松分布的使用情况
●泊松分布适用于描述离散型随机变量，当交通流量不大并且没有象交通信
理论频率（泊 松分布） 1.3 2.5 4.7 7.1 8.8
7
8 9 10 11 12 >12
11
10 11 9 1 1 0
9.4
8.8 7.3 5.4 3.7 2.3 2.7
合计
64
64
64
一、 离散型分布
3、负二项分布
当交通流计数延续到高峰期间与非高峰期间两个方面时，将会形成一个高方 差。在交通信号的下游会有一个很普遍但不是很明显的情况：信号循环 的前一部分时间，交通流大，信号循环的后一部分时间，交通流很小。 如果计数期间相应于周期的绿灯部分，或相应于整个信号周期，周期影 响会不明显。不过如果计数周期短，会有大流量的时段与小流量的时段， 甚至有居中流的时段，这样形成的计数分布将产生很高的方差。
号这类因素干扰时，交通状况会出现随机性，泊松分布能够提供良好的 成果。
●当交通拥挤或交通流的到达率上有周期干扰时候（如交通信号），用泊松
泊松分布描述交通状况误差会较大。
●具体应用时候，应该注意泊松分布的平均数与方差是相等的，当观测数据
的方差/平均数的比率显著地不等于1.0时候，就是泊松分布不适合的表示。
移位指数分布拟合数据，需要估计参数 T ˆ和
ˆ
是曲线相对于原点的位移
二
举例：与前图对比
连续型分布
二
连续型分布
移位负指数分布适合描述限制超车的单列车流车头时距分布和低流量时多列
有了这些公式就可以 求得相应的概率
一、 离散型分布
●相应的递推公式
P(0) p k
x k 1 P( x) qP( x 1) x
一、 离散型分布
举例：
车辆数/间隔 观测频率
理论频率（负 二项分布）
140.4
122.0 62.2
理论频率（泊 松分布） 129.6
132.4 62.2
总的事件 m 总的观测次数
概率的计算：
观测的总车辆数 总的周期数
P(0) e
m
x
m m e P( x) m x ! x 1 m P( x 1) x m e ( x 1)!
一、 离散型分布
m P( x) P( x 1) x 据此可以得到： P(0) e m m P (1) P (0) 1 m P (2) P (1) 2 m P(3) P(2) 3
通特性是事件之间的时间，即前后车辆到达之间的车间时距。为此需要 用到连续型分布。 负指数分布等
二
1、负指数分布
连续型分布
车辆的到达服从泊松分布，其公式为：
(t ) e P( x) x!
x
t
P(x)为在计数周期t期间x辆车到达的概率 λ为平均到达率（辆/妙） t为每个计数周期的持续时间（妙） m= λt为在持续时间t周期内平均到达的车辆数 令： V 其中V为小时交通量
可拟合观测数据。 （3）在拥挤的交通量计数中，观测数据所得方差/平均值比率事实上小于1， 对观测数据可用二项分布拟合。 （4）在交通量计数中，有流量的周期变化，或在计数周期平均流量在改变， 得出方差/平均值的比率事实上大于1.0，则负二项分布可拟合观测数据。
二
连续型分布
以上分析提出了一定时间间隔内出现离散事件的概率，另外一非常重要的交
重要的分布是离散型分布（描述可数的事件出现率）以及连续型分布 （描述事件之间时间间隙的出现率）。
●本节主要讨论离散分布，主要包括泊松分布、二项分布及负二项分布等，
然后讨论基本的连续型分布，最后讨论了用于交通的几种改进分布。
一、 离散型分布
在一定的时间间隔期间清点车辆到达数，是最老的也是最简单的交通量量测
法。当比较一系列时间间隔相等的计数时，这就形成了一随机序列。这 就引起交通技术人员研究其分布，描述一间隔期间车辆到达的事件。
一、 离散型分布
1、泊松分布
为了描述离散事件完全随机出现，泊松分布是合适的分布。其早期在交通上 的应用有：金蔡于1933年论述了泊松分布应用于交通的可能性，1936年 亚当斯发表了数值例题，1947年格林希尔治在其有关交叉口交通分析中， 采用泊松分布。 泊松分布的公式：
一、 离散型分布
2、二项分布
（1）二项分布的公式 ●对于拥挤的交通（该处观测的方差/平均数比率实际上小于1）时，可以使
用二项分布来描述车辆到达的分布。
●二项分布的表达式：
P( x) C xn p x (1 p) n x
x 0,1,2,, n
n! C x!(n x)!
n x
p 是1辆车到达的概率
C
n 是n个中一次取x的组合数 x
一、 离散型分布
●对于二项分布，m=np，m是平均数；S2=np(1-p)是方差。
如果
ˆ 是拟合中使用的二项分布参数p的估计值， n p ˆ
ˆ (m s 2 ) / m p ˆ m / p m2 /( m s 2 ) n
是拟合中使用的二项
分布参数n的估计值，这些参数可以用下列关系式来估算：
8
9 10 11 12 13 14 15
84
72 61 52 50 34 32 29
87.3
78.1 69.8 62.5 55.8 49.9 44.5 39.8
24
25 26 27 28 29 30 31
8
7 7 6 4 3 1 0
14.6
13.1 11.6 10.5 9.2 8.3 7.5 6.6
●一般情况：
到达数量小于或等于k的概论：
到达数量大于k的概论：
me P( x k ) i! i 0
到达数量小于k的概论：
i k 1
i k
i m
P( x k ) 1 P( x k )
mi e m 1 i! i 0
i k
mi e m P( x k ) i! i 0
二
这样，T=1753/214=8.19秒， 则m=t/T=t/8.19=0.122t
连续型分布
观测数据包含214个时间间隔，总计1753秒。
P( h t ) e
则拟合的结果见上面表格。
0.122t
二
将数据用图来表示：
连续型分布
二
连续型分布
2、改进的负指数分布——移位负指数分布
用于车辆计数的泊松分布及用于前后两车相隔时间的负指数分布，只适用于 低交通量。当交通转为繁忙，车辆随意超车的能力受到限制，车辆间的 相互影响增加。这时车队趋向于成队驾驶，车队的最小车间距明显地大 于0；另外，指数分布描述车间时距越趋于0出现的概率越大，或说指数 分布描述的是车头间距趋于较小时候的概率，或者说指数分布预测的短 车间距太多。