第六章 线性空间 自测题
一、填空题(20分)
1、若n ααα,,,21 就是线性空间V 的一个基,则满足条件(1)n ααα,,,21 就是 ;
(2)对V 中任意向量β, 、
2、数域P 上的线性空间V 的非空子集W 就是V 的子空间的充要条件为 、
3、已知12,W W 为线性空间V 的子空间, 12W W +为直与的充要条件为 、
4、设V 与W 就是数域P 上两个线性空间,V 到W 的一个同构映射f 满足如下三个条件:
(1)f 就是V 到W 的 ;
(2)对V ∈∀βα,,有 ;
(3)对,V k P α∀∈∈,有 、
5、向量空间V 的基12,n ααα，，到基11,,
,n n ααα-,的过渡矩阵为_______ 、 6、复数域作为实数域上的向量空间,则dim =_____,它的一个基为__ __、 复数域作为复数域上的向量空间,则dim =__ __,它的一个基为__ _ _、
二、选择题(10分)
1、若21,W W 均为线性空间V 的子空间,则下列等式成立的就是( )
(A)21211)(W W W W W =+; (B)21211)(W W W W W +=+ ;
(C)1211)(W W W W =+ ; (D)2211)(W W W W =+
2、按通常矩阵的加法与数乘运算,下列集合不构成P 上线性空间的就是:( ) (A){}1n n W A P A A ⨯'=∈=; (B){}2()0n n
W A P tr A ⨯=∈=; (C){}
30n n W A P A ⨯=∈=; (D){}4n n W A P A A ⨯'=∈=-、 3、数域P 上线性空间V 的维数为V r n ∈ααα,,,,21 ,且任意V 中向量可由n ααα,,,21 线性表出,则下列结论成立的就是:( )
(A)n r =; (B)n r ≤; (C)n r <; (D)n r >
4、设1324[],[]W P x W P x ==则=+)dim
(21W W ( ) (A)2; (B)3; (C)4; (D)5
5、设线性空间{}
R a a a a W ∈=)3,2,(,则W 的基为:( )
(A))3,2,1(; (B)),,(a a a ; (C))3,2,(a a a ;(D))3,0,0()0,2,0()0,0,1(
三、(10分) 在线性空间4P 中求由线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+01113530333045234321
43214321x x x x x x x x x x x x 所确定的4
P 的子空间W 的基与维数、
四、(15分)设3中的两个基分别为()1101α=,()2010α=,()3122α=, ()()()123100,110,111βββ===、
(1)求由基321321,,,,βββααα到基的过渡矩阵、
(2)已知向量α在基321,,ααα下的坐标为()130,求α在基321,,βββ下的坐标、
五、(15分) 设12(1,2,1,0),(1,1,1,1),αα==-1(2,1,0,1),β=- 2(1,1,3,7)β=,),(),,(212211ββααL W L W ==,求)dim (21W W +及)dim (21W W 、
六、(15分) 设n n A P ⨯∈:
1)证明:全体与A 可交换的矩阵组成n n P ⨯的一子空间,记作()C A ;
2)当A =E 时,求()C A ;
3)当1000020000
0A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时,求()C A 的维数与一组基、 七、(15分)已知n n P ⨯的两个子空间{}1n n V A P A A ⨯'=∈=,{}2n n V A P A A ⨯'=∈=-,
证明:12n n P V V ⨯=⊕.
答案:
一、1、线性无关,β可以由n ααα,,,21 线性表示 2、 对V 的加法与数乘封闭 3、 12{}W W o ⋂=或12dim()0W W ⋂= 4、 线性映
射,()()()f f f αβαβ+=+,()()f k kf αα= 5、 111
⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
6、 dim =2,它的一个基为1,i ; dim =2,它的一个基为1、
二.C C B C A
三、 解:由32543254325431330387018735131103870000---⎡
⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
12534101920183701837300000000--⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
,W 的维数为2, 一组基为()()'
'1218310,29701ξξ=-=-、
四、 解:(1)由()()()123123123101=012=A 102αααεεεεεε⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,
()()()123123123111=011=001B βββεεεεεε⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,
()()1123123=A B βββααα-∴,
过渡矩阵1
110111*********
1=01201121201123
110200110100111
0A B ---⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦、
(2) ()112312311=(,,)3=300B A ααααβββ-⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
坐标为111101*********=0110123110320001102010201B A -----⎛⎫⎡⎤
⎡
⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭
五、解:由()121211211
10321110117=1103022201170115ααββ-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
10141
00001170
10000412001000020001--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
,
12dim 2,dim 2W W ==,12dim()=4W W +,12dim()=0W W
六、 证明 1)设与A 可交换的矩阵的集合记为()C A 、显然()O C A ∈, ,()B D C A ∀∈,()()A B D AB AD BA DA B D A +=+=+=+,故()B D C A +∈、 若k 就是一数,()B C A ∀∈,可得()()()()A kB k AB k BA kB A ===,故()kB C A ∈、所以()C A 构成n n P ⨯的子空间。

2)当A E =时,()n n C A P ⨯=、
3)设()ij B b =为可与A 交换的矩阵,由第四章习题5知,B 只能就是对角矩阵,故维数为n ;1122,,,nn E E E 为一组基、
七、 证明:显然12+n n V V P ⨯⊂,又''
,22
n n A A A A A P A ⨯+-∀∈=+, 其中'2A A +为对称矩阵,'
2
A A -为反对称矩阵, ''1222A A A A A V V +-∴=+∈+ 故12+n n P V V ⨯⊂,从而12=+n n P V V ⨯、
又因为12A V V ∀∈⋂,'',A A A A ==-, 有A O =、故12{}V V O ⋂=,故12+V V 为直与、 故12n n P V V ⨯=⊕。