板块一、有理数基本加、减混合运算 【例1】已知线段AB 的长度为a ，点C 是线段AB 上的任意一点，M 为AC 中点，N 为BC 的中点，求MN 的长。

【例2】 .已知，线段AB=10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长。

【例3】 点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点. (1)求MN 的长;(2)若点C 为线段AB 上任意一点，k CB AC =+，其他条件不变，则MN 的长度为多少？【例4】 如图，已知B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 中点，N 是CD 中点，若.,b BC a MN ==求AD.【例5】 如图，已知线段AB 和CD 的公共部分,4131CD AB BD ==线段AB ，CD 的中点E 、F 的距离是12cm ，求AB ，CD 的长。

【例6】 在数轴上有两个点A 和B ，A 在原点左侧到原点的距离为6，B 在原点右侧到原点的距离为4，M ，N 分别是线段AO 和BO 的中点，写出A 和B 表示的数；求线段MN 的长度。

有理数基本运算线段及其中点问题【例7】（1）如图，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC + CB = a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由。

（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC = b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由。

A BCM N【例8】已知线段AB=acm,点A1平分AB,A2平分AA1,A3平分AA2,……,nA平分1nAA-, 则nAA=_________cm.【例9】过两点最多可画1条直线（1＝212⨯）；过三点最多可画3条直线（3＝223⨯）；过同一平面内四点最多可画______________条直线；过同一平面内ｎ点最多可画______________条直线；【例10】在一条直线上取两上点A、B,共得几条线段?在一条直线上取三个点A、B、 C,共得几条线段?在一条直线上取A、B、C、D四个点时,共得多少条线段? 在一条直线上取n个点时,共可得多少条线段?【例11】如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2 cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ=PQ，求ABPQ的值。

（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有ABCD21=，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM－PN的值不变；②ABMN的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值。

CBAC【例1】 如图所示，AB 为一条直线，OC 是∠AOD 的平分线，OE 在∠BOD 内，∠DOE=31∠BOD ，∠COE=72°，求∠EOB 的度数。

【例2】 如图，已知∠AOB 是∠AOC 的余角，∠AOD 是∠AOC 的补角，且BOD BOC ∠=∠21，求∠BOD 、∠AOC 的度数【例3】 已知，如图∠BOC 为∠AOC 内的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC 。

（1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON 的度数； （2）若∠AOB=α，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；（3）若∠AOB=90°，∠BOC=β，还能否求出∠MON 的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。

（4）从前三问的结果你发现了什么规律？【例4】 （1）如图所示，已知∠AOB 是直角，∠BOC=30度，OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数。

（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON 的度数。

（3）你从（1），（2）的结果中能发现什么规律？OAMBN CDO CBA【例5】 O 是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 。

（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数；（2）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示） （3）将图1中的∠COD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置。

①探究∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：)(212AOF AOC BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系。

【例6】 如图，已知∠AOB=60度，OC 是∠AOB 的平分线，OD ，OE 分别是∠BOC 和∠AOC 的平分线。

（1） 求∠DOE 的大小；（2） 当OC 在∠AOB 内绕O 点旋转时，OD ，OE 仍是∠BOC 和∠AOC 的平分线，问：此时∠DOE 的大小是否和（1）中相同吗？说明理由。

【例7】 如图，在图（a ）中，在角内引一条射线时，图中共有（ ）个角； 在图（b ）中，在角内引两条射线时，图中共有（ ）个角；在图（c ）中，在角内引三条射线时，图中共有多少个角？如果在角内引n 条射线（n 为自然数）时，则共有几个角？（a ）（b ）（c ）ODBCE A【例1】已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

【例2】如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。

⑴求AB中点M对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

【例3】已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。

若不存在，请说明理由？⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B 一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？比较大小、绝对值、找规律借助方程求解数轴上动点问题【例4】 已知数轴上A 、B 两点对应数分别为—2，4，P 为数轴上一动点，对应数为x 。

⑴若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数。

⑵数轴上是否存在P 点，使P 点到A 、B 距离和为10？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由。

⑶若点A 、点B 和P 点（P 点在原点）同时向左运动。

它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P 为AB 的中点？【例5】 电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第一步从K0向左跳一个单位到K 1，第二步由K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K 3向右跳4个单位到K 4……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的K 100所表示的数恰是19.94。

试求电子跳蚤的初始位置K 0点表示的数。

【例6】 如图，点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点。

（1） 求线段MN 的长；（2） 若C 为线段AB 上任一点，满足AC+CB=acm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由。

你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？（3） 若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC —BC=bcm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。

【例7】 如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12， （1）写出数轴上点A 、B 表示的数；（2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CQCN 31=，设运动时间为)0(>t t 秒。

①求数轴上点M 、N 表示的数（用含t 的式子表示） ②t 为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点。

A M C N B。