一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示
向量的模
零向量
向 单位向量
量
平行向量
共线向量
相等向量
相反向量
二、向量的运算
几
何
方
向法
量
的
运 算
法坐
标
方
加法 减法 实数与向量的积
加法 减法 实数与向量的积 平面向量数量积
几何方法：
B OC OA OB
A
B
C
OA
OB OA AB O A
O
B
BA OA OB
3、计算两个向量的夹角：
cos a b
ab
4、向量垂直充要条件：a b 0
坐标表示：x1x2+y1y2=0
5、向量共线（平行）充要条件：b a
坐标表示：x1y2-x2y1=0
注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线） 垂直或平行的重要方法之一。
例4 已知 a =（1，2），b=（-3，2），当k为何
B
a
b
a( 0) a( 0)
a
O MA
实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换。 a b | a | | b | cos
| OM | | OA |
坐标方法
设向量 a （x1，y1），b （x2，y2）则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
说明：两个向量和 与差的坐标分别等
a b (x1 x2 , y1 y2 )
（2）当 k a b与 a 3b平行时，存在唯一实数λ，
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
a 2b c，求 ，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
5
∴ λ= ，μ=-12
2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量 b 与非零向量 a共线的充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。
于这两个向量相应 坐标的和与差。
a （x1
,
y1）
说明：实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标。
a
b
(
x1x2
,
y1
y2
)
说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。
向量运算律
1、实数与向量的积运算律
（1）（a） ()a
（2）（ ）a a a （3）（a b） a b
1
SABC 2 bc sin A 2 ca sin B 2 absin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
六、余弦定理及其变形公式
2、平面向量数量积的运算律
思考：你能将此 运算律用坐标表 示出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
例1 判断下列命题及其逆命题的真假：
1、若| a|= | b| ，则 a与 b是共线向量； 2、若 a∥ b ，则 a在 b方向上的投影是 a；
2、平面向量基本定理
如果 e1, e2是同一个平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面的任一个向量 a，有且只有一对实
数 1, 2 ，使
a 1e1 2 e2
四、数量积的主要应用
2
1、计算向量的模：a a a , a a a
坐标表示： a x2 y2
2、两点间距离公式：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例6 （1）函数 y log 2 (x 2) 3的图象经过 怎样的平移，可以得到函数 y log 2 x的图象？
（2）函数 y cos(
平移，可以得到函数
x )
y 3cos
2的图象经过怎样的 x的图象？
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
1
1
a2 b2 c2 2bc sin A b2 c2 a2 2ca sin B 变形 c2 a2 b2 2ab sin C
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cosB
2ca cosC a2 b2 c2
2ab
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
中点公式
x
x1
x2 2
y
y1 2
y2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使 P1P 2 PP2 ，求点P 的坐标。
3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1； 4、若 a 0，则 0且 a 0
例2 判断下列运算律的正误
1、a 0, a b 0 b 0
2、a b b c,b 0 a c
3、(a b) c a (b c)
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, ，) 若
值时，
（1） k a b与 a 3b垂直； （2） k a b与 a 3b平行？平行时它们是同向还
是反向？
解：由已知 k a b=（k-3，2k+2），a 3b=（10，-4） （1）当 (k a b) (a 3b) 0时，这两个向量垂直。
由（k-3）×10+（2k+2）×（-4）=0，得：k=19