12.3 《角的平分线的性质》教案台前县吴坝镇中学李桂香一、教学背景的分析1、教学内容本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。

内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。

作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。

因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。

同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

2、学生刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。

根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。

3、教学环境利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。

4、教学重点、难点本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。

教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。

教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。

二、教学目标的确定1、知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法（2）理解角的平分线的性质并能初步运用。

2、数学思考：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。

3、解决问题：（1）初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用。

（2）培养学生的数学建模能力。

4、情感与态度：充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。

三、教学方法与手段的选择1、教学方法：本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”。

鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合。

2、教学手段：根据本节课的实际教学需要，我选择电脑及投影仪多媒体教学系统教学，另外借助一定的教学软件，如“几何画板”，“Powerpoint”等将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变。

这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握。

四、教学过程的设计（一）感悟实践,动手操作问题1：怎样将纸片上的角分成两个相等的角呢？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法。

追问1：除了用刚才提到的方法，还有其他的方法吗？ 师生活动：提出问题引发学生思考。

追问2：用平分角的仪器可以平分一个角，（教师拿模型演示）你能说明其中的道理吗？等的知识解释平分角的仪器的工作原理。

追问3：仿照平分角的仪器的工作原理，我们如何利用尺规作一个角的平分线呢？师生活动：师生分别在黑板和学案上，教师引导学生边操作边归纳得出用尺规作∠AOB 平分线的具体方法。

如果学生没有思路，教师可作如下提示：1、怎样用圆规在∠AOB 的两边上得到(AD=AB)两条相等的线段？2、又怎样得到另两条相等的线段(CD=CB)呢？追问4：你能说说为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据。

设计意图：让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角AB A的平分线，增强作图技能。

最后让学生在简单的推理过程中，体会作法的合理性。

（二）经历过程，发现性质问题2：在射线OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，垂足分别为点D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？我们全班同学取了几十个点，如果这样的点继续取下去，你猜一猜角的平分线有什么性质？师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现。

学生互相补充，教师指导，得出猜想。

追问1：我们得到了一个猜想，想知道它是否成立，怎么办？师生活动：教师首先引导学生分析命题的条件和结论。

如果学生感到困难，可以让学生将命题写成“如果······那么······”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找到结论中的隐含条件（垂直）。

最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程。

已知：∠AOC = ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？师生活动：师生共同概括证明几何命题的一般步骤：（1）、明确命题中的已知和求证；（2）、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

追问3：角的平分线的性质对我们解决问题有什么帮助？师生活动：学生思考，角的平分线的性质主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证明两个三角形全等，使简化了证明的过程。

设计意图：让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路，以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展学生的归纳概括能力。

而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷。

（三）合作交流，辨析正误O B EA F C DB E 判断正误，并说明理由：（1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF 。

（2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则PE =PF 。

（3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm 。

用多媒体展示一组判断题 ，学生独立思考完成，并请学生举手发表见解，教师予以肯定、鼓励。

［设计意图］让学生通过辨析来理解和巩固角平分线的性质定理。

让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 再次展示引例情景，用抢答的形式请同学们举手回答。

［设计意图］运用所学性质回答课前引例中的问题，让学生体会生活中蕴含数学知识，数学知识又能解决生活中的问题，感受数学的价值，让人人学到有用的数学。

同时利用抢答形式更好活跃课堂气氛。

（四）例题讲解，应用性质例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F 。

求证：EB =F C 。

变题1：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD =DF ，求证：CF =EB 。

A OB P E F 图2 图3 A O B P E A B P E F 图1 AFC D B E变题2：，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，BC =8，BD =5，求DE 。

多媒体的运用，促进了课堂教学方法与模式的变革。

教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路，再鼓励学生通过实物投影展示自己的证明过程，教师点评一题多变及一题多解。

［设计意图］本组例题的解决是为突出重点、突破难点而设计的一项活动。

让学生运用性质解决数学问题，通过利用多媒体对一些边进行变色，提醒学生直接运用定理，不要仍旧去找全等三角形。

同时通过信息技术方便进行一题多解及一题多变研究，更好的拓展学生解题思路及形成知识运用能力。

两道变题同时展示，符合高效课堂要求。

通过学生观察识图、独立思考、小组讨论，培养学生合作交流的意识。

（五）课堂训练，巩固新知1、如图,OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别是D 、E,PD=4cm,则PE=__________cm.（第1题） （第2题） 2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB ，∠1=∠2，且AC=6cm ，那么线段BE 是△ABC 的，AE+DE=。

3、在△OAB 中，OE 是它的角平分线，且EA=EB ，EC 、ED 分别垂A DO B E P C直OA ，OB ，垂足为C ，D.求证：AC=BD.师生活动：学生独立完成，学生板演问题3的证明，教师适时点拨指导，师生共同评价。

4、已知△ABC 中, ∠C=900，AD 平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5, 求点D 到AB 的距离是多少？ 学生先独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时指导，并让学生板演解题过程。

此时教师主要关注学生是否能够想到如何构造辅助线，并准确的描述辅助线的作法。

设计意图：通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力。

（六）总结归纳，形成体系这节课你本节课学习了哪些知识？学会了什么方法？教师让学生畅谈本节课的收获与体会。

学生归纳、梳理交流本节课所获得的知识技能与情感体验。

AB A B E CD C D［设计意图］通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力。

（七）学习检测，达成目标1、如图,一目标在A 区,而且A 区在公路、铁路所夹角的平分线上，如果目标离公路的距离是500米.那么它离铁路的距离是（ ）米。

设计意图：本题主要考察学生运用角的平分线的性质解决简单实际问题的能力。

2、如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D 、E 写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可）。

设计意图：本题主要考察学生对角的平分线的性质的理解情况。

八、发散思维，拓展提高1、如图所示,AC,BC 是公园的两道垂直的围墙,AD是公园里的一OB E排树,AB 是一条路,AD 正好平分∠BAC,并且BC=10m,BD=6m,工作人员想从D 点修一条路到达AB 所在的路上,那么怎么修最近,要修多少米？2已知：有一块三角形形状的白铁皮板，现在要剪下一个最?附：板书设计：A。