k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
三、特征值和特征向量的性质
1. 定理 设1,2 ,,m是方阵A的m个特征值, p1, p2 , , pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2 ,,m
各不相等,则 p1, p2 ,, pm 线性无关.
2. A与AT有相同的特征多项式、相同的特征值。
§3 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化
征向量.
2当A可逆时, 0, 由Ax x可得 A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故1是 矩 阵A1的 特 征 值, 且x是A1对 应 于1
的特征向量.
(3)若是A的特征值,则( )是( A)的特征值
(4)若 0为A的一个特征值，则 A 为 A 的一个特征值.
(5)1为E的一个特征值
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 p2 2, 1
所以kp2(k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1
1
A E 0 2 0
4 1 3
2
2 2 4
2 4 2
2 (2)A 5
1
1 3 0
2 3 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1Ex 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
例４ 证明：若 是矩阵 A 的特征值 , x 是 A 的 属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意自然数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
（A与对角阵相似的充分条件）
说明：如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能
对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 (1) A 2
求方阵 An 的特征值与特征向量的步骤：
1. 由特征方程 A E 0 解得 n 个特征根 i (i 1,2,, n)
2. 对每个i分别求出( A i E)x 0的基础解系, 写出其 非零线性组合.
例２
求矩阵A
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程A E x 0.由
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
§2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的求法 三、特征值和特征向量的性质
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设 A 是 n 阶矩阵,若数 和 n 维非零 列向量 x 使关系式 A x = x 成立,则称数 为
方阵 A 的特征值,非零列向量 x 称为 A 的对应
于特征值 的特征向量.
说明 1. 特征向量 x 0 . 2. 特征值问题只对方阵而言 .
3. A E 0
a11 a12
a21
a22
a1n
a2n
0
an1
an2 ann
记 f A E ,它是 的 n 次多项式 ,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 A E 0
为A的特征方程 .
4. 齐次线性方程组 A i E x 0 的所有非零
解向量就是 n 阶方阵 A 的对应特征值 i 的
所有特征向量 .
5. 设 n 阶方阵 A aij 的特征值为1,2 ,,n ,
则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann;
(2) 12 n A .
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设 A , B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵P ,
使
P 1 AP B ,
则 称 B 是 A的相似矩阵, 或说矩阵A 与 B 相 似.
对 A 进 行 运算P 1 AP 称 为 对 A进 行 相似 变 换,
可逆矩阵P 称 为 把 A 变 成 B的相似变换矩阵.
二、相似矩阵与相似变换的性质
线性无关的特征向量于是R( A E) 1
所以Βιβλιοθήκη 1 AE 10 0
1 1 0 x ~ 0 0
1 x 1
1
0 1
0
0
0
所以 x 1
§4 对称矩阵的对角化
问题：什么样的矩阵可以进行对角化？ 答案：对称矩阵可以对角化
§5 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩
1. 单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
2. 正交、正交向量组的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
存在可逆阵P,使得P1AP B,
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P
A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似 , 则1,2,,n 即是 A的 n 个特征值 .
对于对角矩阵 ,有
k 1
k
k 2
,
k n
( 1)
()
( 2)
,
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
201
由于
0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角
化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
1 1 A E 4 3
0
0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当1 2时,解方程( A 2E )x 0.由
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0,
1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量. 当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; 或 x,y x, y;
(3) x y, z x, z y, z; 或 x, y z x, y x, z;
(4) [ x, x] 0,且当 x 0 时有[ x, x] 0.
1.若A与B相似, 则Am与B m 相似m为正整数.
2.若 n 阶矩阵A 与 B 相似,则 A 与 B 的特征 多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值亦相同.
定理3 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 的特征 多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值亦相同. 证明 A与B相似 ,
(5)[x, y]2 [x, x][ y, y] 施瓦茨不等式
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
二、特征值与特征向量的求法
求方阵 An 的特征值与特征向量的步骤：
1. 由特征方程 A E 0 解得 n 个特征根 i (i 1,2,, n)
2. 对每个i分别求出( A i E)x 0的基础解系, 写出其 非零线性组合.
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例3 设
0 0 1
A 1 1 x
1
0
0
问x为何值时，矩阵A能对角化？
解：
0 1
1
A E 1 1 x (1 )
1