相似三角形之常用辅助线
在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。

而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。

因此，我们需要
通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。

专题一、添加平行线构造“ A ”“X ”型
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
定理的基本图形：
例1、平行四边形ABCD中, E为AB中点，AF: FA 1 : 2,求AG GC
变式练习：
如图，直线交厶ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若—；；=2,求BE:EA的比
值.
例3、BE^ AD,求证：EF- BO AC- DF
变式练习：
已知在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证:
AB BD
AC CD
BD
例2、如图，直线交△ ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若 -
DC
FC
=2,求BE:EA的比值.
FA
（本题有多种解法，多想想）
变式1、如图，△ ABC中，AB<AC，在AB、
AC
上分别截取BD=CE , DE, BC的延长线相交于点F,证明：AB・DF=AC EF。

例4、已知：如图，在△ ABC中，AD为中线，E在AB上, AE=AQ CE交AD于F，EF： FC=3 ： 5，EB=8cm,
求AB AC的长.
AE 1 AF
竺丄，求比。

（试用多种方法解）
DE 2 BF
A
说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧•在解题中方法要灵活，思路要开阔. 总结：（1）遇燕尾，作平行，构造.字一般行。

（2）引平行线应注意以下几点：
1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在冋一直线的线段的端点作为引平行
线的点。

2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

专题二、作垂线构造相似直角三角形
基本图形
例1、如图, ABC 中，AB AC, BD AC,那么BC22CA CD吗？试说明理由？（用多种
变式练习：
平行四边形ABCD中, CEL AE, CF丄AF,求证：AB- A曰AD- AF= AC
于
G ，求证：FG 2 =CF ?BF
2.如图，在△ ABC中，AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上，BD=3CE DE交BC于F, 求DF: FE的值。

例2、如图，Rt ABC 中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG AB
F
【练
习】
1.如图，一直线与△
是AB的中点。

则D
3.已知：AM MD=4 1, BD DC=2 3，求AE EG
A
4、如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD = AE , DE延长线与BC
BF BD
延长线相交于F，求证：CF CE。