第九章 扭 转
§9-1 引 言
工程问题中，有很多杆件是受扭转的。
自行车的中轴受扭转。
齿轮传动示意图
受力特点：
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线外力偶作用（矢量与轴线一致）
Me
Me
变形特点：圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动
工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件 工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉 压等其他变形形式。
在剪切弹性范围内，切应力与切应变成正比
对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比μ与切变模量G
之间存在如下关系
G= E
2(1+ μ)
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
A、几何关系
几何关系 物理方面 静力学方面
根据平面假设
ab O1 O2 a dx b
Me
Me
γ
a
b
T
T
ρ
A
E O1 γρ γD
G O2
dϕ
G'
D'
a
dx
b
γ ≈ tan γ = DD' = R × dϕ
AD d x
d
dx
ρ E O1 γρ G O2
Aγ
D
dϕ
G'
D'
γρ
≈
tan γ ρ
=
GG′ EG
=
ρ dϕ
dx
a
b
T
T
ρ
A
E O1 γρ γD
G O2
dϕ
G'
D'
a
dx
b
d
dx
ρ
A
E O1
γ
γρ
D
G O2
dϕ
G'
D'
γρ
=
ρ
dϕ
dx
=
πd 3 16
∫ ( ) Ip =
ρ 2 d A= πD4
A
32
1−α 4
( ) Wp
=
Ip D /2
=
πD 3 16
1−α 4
§9-5 极惯性矩与抗扭截面系数
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质
薄壁圆截面（了解）
dA = δ R0dθ
dθ
R0
θ
∫ ∫ Ip = A ρ 2 d A ≈ R02 A d A = 2π R03δ
γρ ∝ρ
dϕ 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给
d x 定的横截面为常量
B、物理方面
γρ
=
ρ
dϕ
dx
剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与切应
变成正比。
τ = Gγ τ ρ
=
Gρ
？dϕ
dx
横截面上各点的
τρ ∝ ρ
剪应力与点到截 面中心的间距成
正比，即切应力
沿截面的半径呈
线性分布。
O
d
C、静力学方面
Me A
Me A
T
1
Me
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T = Me
Me
B
T图 x
例1: 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入 的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
一、扭转失效
[τ ] = τ u
n
对于塑性材料： 对于脆性材料：
τu =τs τu =τb
对于塑性材料： [τ ] = (0.5 − 0.577)[σ ] 对于脆性材料： [τ ] = (0.8 −1.0)[σ t ]
二、强度条件 τ max ≤ [τ ] 材料的许用切应力
工作应力
等直圆轴 Tmax ≤ [τ ]
选择d2 = 75mm
§9-8 扭转静不定问题 （了解）
扭转静不定问题的解法，同样是综合考虑静力、
几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条
件建立补充方程。
例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转
力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试
求杆两端的支反力偶矩。
解： 一次超静定
I
Me
II
设想解除固定端
A
C
a
B
b
B处的约束，代之
MA A
l
以约束力偶矩MB.
I
Me
II
MB
CA
I
Me
C
II
MB
B
x
列出平衡方程：
ΣM x = 0 , M A + M B − M e = 0
变形协调条件：根据原静不定杆的约束情况，B端 的扭转角应等于零, 即补充方程为
T 图(kN·m) 在CA段内
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、扭转试验与假设： 表面变形特点：
拉压杆：正应力
1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小 、形状、间距都未变；（各横截面如同刚性圆片）
2、纵向线倾斜了同一个角度γ ，表面上所有矩形均
变成平行四边形。
平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一 样绕杆的轴线转动。
ϕAB = 0
按叠加原理：
ϕAB ϕ = B ,MB ϕ − B ,Me = 0
ϕB, MB、ϕB, Me分别为MB、
Me引起的在杆端B的扭转
角。
∫Aρτ ρ d A= T
τρ
=
Gρ
dϕ
dx
∫ G dϕ ρ 2 d A = T
dx A
∫ 令
Ip =
ρ2 d A
A
称为横截面 的极惯性矩
得
dϕ = T
d x GIp
T
Oρ τρdA
r
dϕ = T
d x GIp
τρ
=
Gρ
dϕ
dx
τρ
=
Gρ
⎜⎜⎝⎛
T GI
p
⎟⎟⎠⎞
=
Tρ
Ip
圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：
径。
解： 1）计算外力偶矩
mA
=
7024
N1 n
=
7024Nm
mB
= 7024
N2 n
=
2809.6Nm
mC
= 7024
N3 n
=
4214.4Nm
2）计算直径
AB段：由强度条件
[ ] τ max
=T Wp
=
16T
π d13
≤
τ
由刚度条件
d1 ≥ 3
16T
π [τ ]
=
3
16 × 7024
π × 70 ×106
扭转角 ⎯⎯ 两个横截面绕轴线的相对转角。
微段的扭转角
a
b
dϕ = T
T
dϕ = T d x O1
T O2
d x GIp
GI p A γ D dϕ
整体的扭转角
D' a dx b
∫ ϕ = l T d x
0 GI p
整体的扭转角
∫ ϕ = l T d x
0 GI p
等直圆轴且扭矩不变时
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶Me 扭转角：轴的变形以横截面间绕轴变形的相对角位移。
§9-2 动力传递与扭矩
Ⅰ、传动轴的外力偶矩 Me
A
Me B
已知：
传动轴的转速 n ；所传递的 功率P (kW)
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
P = Mω
WP
=
π ⋅D3
16
(1 − α
4)
由
τ max
=
Tmax WP
得
D=3
16Tmax
π ⋅ (1 − α 4 ) ⋅τ max
= 157mm
d=0.9D=141mm
V空 V实
=
A空 A实
=
π (D2 − d2) / 4 π ⋅ d12 / 4
=
0.235
§9-7 圆轴扭转时的变形与刚度条件
一、圆轴的扭转变形
τmax
=
Tmax Wp
= 60.8 MPa
>
[τ]
∴强度不符合要求。
扭矩合理分配： 使轴上的Tmax最小
例4（同例2）若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在 保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算 空心与实心轴的材料消耗之比。
解： τ max = 36.6MPa
Tmax = 9.56kN ⋅ m
θ max
=
Tmax GIP
⋅ 180o
π
= 0.48o
< [θ ]
所以刚度符合要求。
例7 如图传动轴，n=500r/min，N1=500马力， N2=300
马力， N3=200马力，已知[τ ] = 40MPa ，许可单位长 度扭转角[θ ]=1 °/m ，G=80GPa。求：确定AB和BC段直
Me
=
9549
P(kW ) n(r / min)
M=P
ω
Me
=
7024
P n
(N
⋅ m)
(P —马力)
Ⅱ、扭矩及扭矩图 利用截面法来确定. 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，
用符号T表示。
1
T = Me