' 'Biblioteka 为正实数，则 A = 0 .
x = k1β + k2 (α + β ) 且 k1 + k2 = 1 。
四（20 分）设向量组 α1 , α 2 , α 3 线性相关，向量组 α 2 , α 3 , α 4 线性无关。 证明： （1） α1, 能由 α 2 , α 3 线性表示。 （2） α 4 不能由 α1,α 2 , α 3 线性表示。 五 （16 分） 对于行列式为零的 n 阶矩阵 A ， 证明： 存在非零的 n 阶矩阵 B ， 使得 AB = CA = 0 。 六（20 分）设 α = ( x1 , x2 , , xn ), β = ( y1 , y2 , yn ) 为实数空间 R 中的任意两个向量，
n
A = (aij ) 为 n 阶矩阵。证明： R n 对于内积 (α , β ) = α Aβ '
做成欧氏空间的充分且必要条件是 A 是正定矩阵。 七（20 分）证明：多项式 g ( x ) = 1 + x + x 2 + + x 2 n 能整除 f ( x ) = 1 + x1 + x 3 + + x 4 n 的 充分且必要条件是 n 为偶数。 八（20 分）设 A 为 n 阶实对称矩阵， B 为 n 阶实矩阵。证明：如果 AB + BA 的特征值全
Tianshui1001
陕西师范大学 2003 年研究生入学考试高等代数试题
一 （18 分）设
12 30 n A= ,求 A 。 5 13
二 （16 分）计算行列式
1 a D= 2 a a4
1 b b2 b4
1 c c2 c4
1 d 。 d2 d4
三（20 分）设 A 是秩为 n 1 的 m × n 矩阵， β 是非齐次线性方程组 Ax = b 的特解，α 是对 应齐次线性方程组 Ax = 0 的一个非零解。证明： （1） β 与 α + β 是 Ax = b 的线性无关的解向量。 （2） Ax = b 的解都可以表示为