高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D ）的值域是V 的充要条件是是满射。

3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =则12VV V =⊕。

2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P 中，定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈（1）求该线性变换在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

2、（1）求线性空间[]3P x 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；（2）求线性空间[]3Px 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数：()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（1） 证明：这是R 2的一个内积。

（2） 求R 2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）1、 设P 3的两个子空间分别为：(){}(){}11231232123123,,0,,,0W x x x x xx W x x x x xx =++==--= 证明：（1）312P W W =+；（2）12W W +不是直和。

2、设是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i Wi r α∈=3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）23n A E +>答案一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+={}2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是1C X-3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 相似关系4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是()10000001λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：A AX A B''=二、 单项选择题（每小题3分，共15分）2、 （ A ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ D ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D ）的值域是V 的充要条件是是满射。

3、（ B ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ C ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ A ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、（ × ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =则12VV V =⊕。

2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ √ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P 中，定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈（1）求该线性变换在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

解：（1）线性变换在自然基下的矩阵是1000010010100101A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（5分）（2）因为()41E A λλ-=-所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====解齐次线性方程组()0E A X -=得矩阵A 的所有特征向量：()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+，其中12,k k 不全为零。

（5分）2、（1）求线性空间[]3Px 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；（2）求线性空间[]3P x 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。

解：（1）因为()()()()221111,1,11,,012001x x x x -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()221111,1,11,,012001x x x x ⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()()()()1221111111,1,11,1,1012012001001x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()21111111,1,1012012001001x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即所求的过渡矩阵为124014001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5分） ()()()21241,1,1014001x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭（2）因为()()()()221111,,1,1,1012001x x x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭故()()2211231,,23f x x x x x ⎛⎫ ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()()2211111,1,10122241310013x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=---=+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标是：243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5分） 3、在R 2中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数：()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（3） 证明：这是R 2的一个内积。