全等三角形的综合复习（教师版）
学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容全等三角形的综合应用必杀技课型
教学目标1.掌握全等三角形的性质与判定，灵活运用各种判定方法证明三角形全等
2.理解与掌握全等三角形综合应用中的几个必杀技
重、难点重点：全等三角形性质与判定的灵活应用
难点：理解并掌握全等三角形的综合应用必杀技
知识导图
导学一：全等三角形的综合应用必杀技之“三垂直模型”
1.[全等三角形的判定与性质] [难度：★★★ ] 在中，，AC=BC，直线MN经过C点，且于D，于E，
当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE
当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE
当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？并加以证明。
【参考答案】
【思维对话】
常见思维障碍：
（1）学生不清楚什么是“三垂直模型”；
（2）学生想到了“三垂直模型”，但不知道怎么用；
（3）“三垂直模型”的解题方法能不能用于其他题型呢？
思维障碍突破方法：
（1）如果题目中出现两个直角三角形，它们接触的部分也是一个直角三角形，这就是典型的“三垂直模
型”；
（2）对于“三垂直模型”，我们根据直角相等，同角的余角相等，容易证明出三角形全等；
（3）当两个三角形中出现相等的角，“公共的角”时，虽然不是直角，但是也可以用“三垂直模型”的方
法得到两个相等的角，从而证明三角形全等。
2.[全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度：★★★ ] 如图CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠a。
若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
如图1，若∠BCA=90°，∠a＝90°，则：
则BE CF；EF |BE -AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件，使中的两个结论仍然成立，
并证明。
【参考答案】
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1.[全等三角形的判定;全等三角形的性质] [难度：★★★★★ ] 已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB。
E、F 分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC＝∠CFA＝∠α。
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①若∠BCA＝90°，∠α＝90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF＝|BE -AF|；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，∠α+∠BCA＝180°，求证△BCE≌△CAF。
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，试探究EF、BE、AF三条线段数量关系，并证明．
【参考答案】
导学二 ： 全等三角形的综合应用必杀技之“手拉手模型”
例题
1.
[全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度： ★★★ ] 如图，B 、C 、E 三点在一条直线上, △ABC和△DCE都为等
边三角形,连接AE 、DB 。
（1）试说出AE = DB 的理由.
（2）如果把△DCE绕C 点顺时针旋转一个角度,使B 、C 、E 不在一条直线上,(1)中的结论还成立吗?(只回答,不说理由) （3）在（2）中若AE 、BD 相交于P,求∠APB的度数
.
【参考答案】
【思维对话】
常见思维障碍：
（1）学生不清楚什么是“手拉手模型”；
（2）学生想到了“手拉手模型”，但不知道怎么用；
（3）“手拉手模型”的解题方法能不能用于其他题型呢？
思维障碍突破方法：
（1）当两个形状相同的等腰三角形的底边所对的顶点重合时，在公共的部分会出现全等三角形，即“手拉
手模型”；
（2）利用等腰三角形中相等的腰及由两腰夹角推导出另一组相等的角，即可证明三角形全等。
（3）“手拉手模型”也可以用于其他题型，常见的是两个正多边形“手拉手”。
2.[全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度：★★★ ] 已知：如图，分别以△ABC的AB、AC为边，在三角形的外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，CD、BE
交于点F，求证：AF平分∠DFE。
【参考答案】
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1.[全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度：★★★★★ ] 如图,在△ABC中,分别以AB、AC为边,向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形,BE、CD相交于点O。
（1）如图甲,求证: △ABE≌△ADC；
（2）探究:如图甲,∠BOC的度数为；
如图乙, ∠BOC的度数为；
如图丙, ∠BOC的度数为；
【参考答案】
2.[全等三角形的判定与性质] [难度：★★★★★ ] 已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点。
（1）求证：①BE=CD；②AM=AN；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立。
【参考答案】
∴AM=AN
（3）（1）（2）中的两个结论仍然成立。
导学三：全等三角形的综合应用必杀技之其他模型
例题
1. [全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度：★★★ ] 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AD，点D是AC的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC。
试猜想线段BE和EC的数
量及位置关系，并证明你的猜想。
【参考答案】
【思维对话】
常见思维障碍：
（1）这个模型的特点是什么？这种方法什么时候用？
思维障碍突破方法：
（1）这个模型可以称作“搭桥模型”，因为它是利用“三垂直模型”“手拉手模型”“截长补短法”等技
巧来找到全等三角形这座“桥梁”，从而推导出题中需要的边角关系，而且过程中可能会出现二次全等。
因此，我们可以在求两线段的数量和位置关系的时候，搭出全等三角形这个桥梁来帮助解题。
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1. [全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度：★★★ ] 已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，
（1）求证△ABP ≌ △QCA
（2）AP与AQ的位置关系如何，请给与证明。
【参考答案】
限时考场模拟：15 分钟完成
1.[等腰三角形的性质;三角形内角和定理] [难度：★★★ ] 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，则∠DPE=度。
【参考答案】
2.[单选题] [角平分线的性质;全等三角形的判定与性质] [难度：★★★ ] 如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【参考答案】D
【题目解析】
过点B作BH⊥AE于点H，作BG⊥DC于点G
∵△ABE≌△DBC
∴BH＝BG
∴MB平分∠AMC
∴④正确。
3.[全等三角形的判定与性质] [难度：★★★★★ ] （1）如图11－1，△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，
∠EAD=90°，EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由。
（2）△ADE的位置保持不变，将△ABC绕点A逆时针旋转至图11－2的位置，AD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由。
【参考答案】
∴ AB=AC。
自主学习
1.[命题与定理;全等三角形的性质] [难度：★★★ ] 命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是。
【参考答案】
2.[直角三角形全等的判定] [难度：★★★ ] 如图，∠C=∠D=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在括号内写出判定全等的依据．
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）；
（4）（）
【参考答案】
3.[全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度：★★★ ] 如图，已知△ABC中，AB=AC=16cm，∠B=∠C，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动。
若当△BPD与
△CQP全等时，则点Q运动速度可能厘米/秒。
【参考答案】
4.[全等三角形的判定与性质] [难度：★★★★★ ] 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点
F。
（1）如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是，请证明你的猜想；
（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明你的猜想。
【参考答案】
培养良好的自主学习习惯。