正交试验设计方法在试验设计中的应用摘要:以三因素三水平的正交试验设计为例 ,说明正交表的使用方法及正交试验设计方法在试验设计中的应用。

并通过一个具体实例向大家介绍正交试验设计的原理、优点及试验结果处理的方法。

关键词:正交试验设计;应用;正交表;优选法引言如何科学地设计试验 ,以获得高可靠性的试验数据 ,这是工程技术人员在试验设计中最需要解决的问题。

试验安排得好 ,试验次数少且能获得满意的结果 ,多快好省 ,事半功倍 ,反之则事倍功半。

举例来说 :若影响质量指标的因素有A 、B 、C 3种因素 ,每个因素各取 3 个水平 ,分别为 A1 、A2 、A3 、B1 、B2 、B3 、C1 、C2 、C3 。

( 所谓因素的水平即该因素在其试验范围内取具有代表性的“值”,三水平就是有代表性的 3 个“值”,水平有时不限于数值 ,它可以是原料的种类或操作方式等等) 。

按传统的方法采用单因素轮换法安排试验 :譬如因素 B 固定在 B1 水平上 ,因素 C 固定在 C1 水平上 , 试验安排为 B1 C1 A1 、 B1 C1 A2 、B1 C1 A3 ,如果试验结果发现在 A3 水平较好 , 则安排试验 A3 C1B1 、A3 C1B2 、A3 C1B3 ,这时发现 B2较好 ,以后就安排 A3B2 C1 、A3B2 C2 、A3B2 C3 , 如果发现C3 较好 ,那么 A3B2 C3 为最佳条件 ,这种试验安排的缺点是 : ( 1) 考察的因素水平仅局限于局部区域 ,不能全面地反映因素的全面情况 ,找不出影响质量的主要因素 ,无法再在三水平外继续找更好的配比组合 (水平) 。

( 2) 如果不进行重复试验 ,试验误差就估计不出来 ,因此无法确定最佳分析条件的精度。

当然 ,可以用全面试验法按它们所有可能组合的情况做试验 ,则需做33 = 27次试验 ,对各因素进行全面考虑 ,从中选出最优化条件 ,但这种做法很不济 ,有时是不可能实现的。

例如安排 5 个因素的 3 水平的全面试验需做 35 = 243 次 ,这在人力、物力、时间上是几乎不可能执行的。

因此 ,会提出下列问题 :如何从大量的试验点中挑选适量的具有代表性、典型性的点呢 ? 特别是怎样选择试验次数尽量少而又有代表性的试验呢 ? 利用根据数学原理制作好的规格化表———正交表来设计试验 ,这种设计方法被称为正交最优化 ,即正交试验设计方法。

事实上 ,正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计上 ,更表现在对试验结果的处理上。

1. 正交试验设计方法简介还以前面提到过的三因素三水平的项目为例 , 是否同样做 9 次试验 ,可以完全克服单因素轮换法安排试验的诸多缺点 ,且能选出影响质量的最主要因素 ,便于进一步试验呢 ? 回答是肯定的 ,这便是利用正交表 ,进行正交试验设计。

表 1 为三水平正交表中的一种 ,可以在本例中应用。

表 1 三水平正交表 L 9 (34)(9 :试验总数目 3 :水平数 4 :最多可容纳的因素数)实验编号因素A B C第一列第二列第三列实验1 A1 B1 C1实验2 A1 B2 C2实验3 A1 B3 C3实验4 A2 B1 C1实验5 A2 B2 C2实验6 A2 B3 C3实验7 A3 B1 C1实验8 A3 B2 C2实验9 A3 B3 C3表 1 中的水平 1 、2 、3 分别为各自所在的列对应的因素的第 1 、第 2 、第 3 水平。

以试验 6 为例说明每一个试验是如何组成的 :实验 6 是由因素A 取第二水平 A2 、因素 B 取第三水平 B3 、因素 C 取第一水平 C1 所组成的 ,其余各组试验以此类推。

这 9 个试验安排得好 ,每个因素中每一个水平都有 3 个试验 ,正是由于它们搭配得均匀 ,所以任一因素的任一水平与其他因素的每一水平相碰一次 ,且仅相碰一次。

正因为如此 ,才便于对试验结果进行科学分析。

在应用时 ,把各因素、各水平套入正交表后 ,经试验、计算可得表 2 。

表 2 三水平正交表 L 9 (34)实验编号因素实验结果备注A B C第三列第一列第二列1 A1 B1 C1 F12 A1 B2 C2 F23 A1 B3 C3 F34 A2 B1 C1 F45 A2 B2 C2 F56 A2 B3 C3 F67 A3 B1 C1 F78 A3 B2 C2 F89 A3 B3 C3 F9实验结果处理Ⅰ1 Ⅰ2 Ⅰ3 Ⅰ:各对应列水平“1”对应试验结果之和Ⅱ1 Ⅱ2 Ⅱ3 Ⅱ:各对应列水平“2”对应试验结果之和Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅲ3 Ⅲ:各对应列水平“3”对应试验结果之和T1 T2 T3(1) 表 2 中第 1 号试验由 A1 、B1 、C1 组成 , 结果为 F1 ;第 2 号试验由 A1 、B2 、C2 组成 ,结果为 F2 ,其余以此类推。

( 2) 以Ⅱ2 及Ⅲ3 为例说明Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ值的计算法 : Ⅱ2 = F2 + F5 + F8 ; Ⅲ3 = F3 + F5 + F7 其余以此类推。

( 3) 以 T2 为例说 T 值的计算过程 ,其余类推可得 :T2 = max{ Ⅰ2 、Ⅱ2 、Ⅲ2 } - mi n{ Ⅰ2 、Ⅱ2 、Ⅲ2 }如上例 :如果通过试验、经过计算得到的结果为 T3 >T1 > T2 , 则可说明因素 3 ( 即 C) 对结果的影响最大 ,其次为因素1 ( 即 A) ,而因素2 ( 即 B) 对试验的结果 ( 或质量指标) 影响最小。

即最大 T 值对应的那一列的因素对试验的结果 (或质量指标) 影响最大 ,反之T 值越小 , 它对应的那一列的因素对试验的结果 (或质量指标) 影响越小。

而对于因素 C ,取 max{ Ⅰ3 、Ⅱ3 、Ⅲ3 }时结果最好 ,取 mi n{ Ⅰ3 、Ⅱ3 、Ⅲ3 } 时结果最差 , 因素 A 、B 类推可得。

这样 , 不仅找出了最影响质量指标的最主要因素 ,也找到了各因素的最佳水平取值 (在预定的水平内) 。

还可以扩大最主要因素的水平范围 ,进行进一步的试验 ,找出更佳的配比 ,不至于盲目地设计试验配比。

2.正交试验设计方法应用示例下面以一个具体的实例来对这一试验设计及结果处理的方法加以叙述。

为了试验一种土壤固化剂 N N 对某种土的固化稳定作用 ,拟对该种土按不同配比掺加水泥、石灰和固化剂 N N ,其中水泥的掺加量为 3 % 、5 % 、7 % ,石灰 (指消解灰) 的掺加量为 0 % 、10 % 、12 % ,N N 固化剂的掺加量分别为0 % 、015 % 、1 % ,试验的目的是 :(1) 通过制取各种配比的试验并测定其 7d 浸水抗压强度试验来确定影响稳定土的强度的主要因素 ,便于扩大配比选择范围 ,做出进一步研究试验 ,找出更佳的配比。

( 2) 确定 N N 固化剂固化该种土是否经济合理。

( 3) 通过试验给出各种稳定剂的合理掺加量。

在这一例子中 ,影响强度结果的因素就是水泥、石灰和固化剂 N N 3 种稳定剂 , 各种稳定剂对应的不同掺加量即为每一因素对应的 3 个水平。

如果按它们所有可能组合的情况做试验 ,则需做 33 = 27 次试验 ,而用正交试验设计法 ,则可达到大大减少试验次数 ,却不降低试验结果的精度。

通过前面的介绍 ,结合本例实际和三因素三水平的正交表 ,经过试验、计算可得表 3 。

表 3 主水平政表 L 9 (34)实验编号因素实验结果水泥石灰固化剂1 3 0 0 0155102 3 10 015 113663 3 12 1 114184 5 0 015 018155 5 10 1 117836 5 12 0 118387 7 0 1 112018 7 10 0 119149 7 12 015 21198实验结果处理Ⅰ1-31294 Ⅰ2-21526 Ⅰ3-41342 Ⅱ1-41436 Ⅱ2-51143 Ⅱ3-41379 Ⅲ1-51393 Ⅲ2-51454 Ⅲ3-41402 T1-21099 T2-21928 T3-01060表 3 可以发现。

(1) T2 > T1 > T3 ,可见对 7 d 龄期浸水抗压强度来说 ,石灰掺量是影响稳定土强度的主要因素 ,水泥掺量次之 , 因为T3 值太小 ( 即Ⅰ3 、Ⅱ3 、Ⅲ3 相差太小) ,可见固化土的效果并不明显 ,且该固化剂价格不低 ,所以可以认为 N N 固化剂不适合处理该种土。

(2) 就水泥来说 , 由Ⅰ1 、Ⅱ1 、Ⅲ1 依次均匀递增可以看出 :随着水泥掺量的增大 ,强度不断提高 ,所以对提高土体强度来说 ,没有最佳水泥掺量 ,只有最经济合理掺量。

即在满足强度要求、技术经济等条件下的适合掺量。

( 3) 就石灰来说 ,由于Ⅱ2 、Ⅲ2 相近 ,而比Ⅰ2 大很大 ,可以看出 :土中加入石灰后 ,土体强度增大很多。

不过 ,随着石灰剂量的继续添加 ,到一定程度后强度增加并不很明显。

因此 ,石灰的剂量不宜太高 ,但考虑到石灰价格较低 ,通过增加石灰剂量来提高土体强度也是可以考虑的。

(4) 由以上分析可以看出 : 如果要做进一步试验 ,想得到更合理、更佳的配比 ,固化剂可以不再考虑 ,而仅考虑水泥、石灰两因素 , 而在水平 ( 即掺加量) 选取上 , 水泥掺量应在经济条件允许范围内选取 ,不能盲目选取。

石灰剂量的选择可以在 10 %左右多取几组水平 ,以便找出更合理的经济配比。

如果对于这两种因素 ,每一种都取 4 种水平 ,则进一步试验时可以用两因素四水平正交表来设计试验。

有时候 ,利用正交设计试验得出的结果可能与传统的单因素轮换法的结果一致 ,但正交试验设计更具有以下优势 : ( 1) 考察因素及水平合理、分布均匀。

( 2)不需进行重复试验 ,误差便可估计出来 ,且计算精度高。

( 3) 找出了最主要因素 ,便于进一步试验。

( 4) 因素越多、水平越多、因素之间交互作用越多 ,正交表的作用越大 ,而此时即使用单因素轮换法也几乎不可能实现。

因此 ,正交试验设计的使用具有广阔的天地 (交互作用是指两个或两个以上因素同时作用时对试验结果的影响 ,这个影响一般不等于各个因素单独作用所产生的影响之和。

当需考察因素之间的交互作用时 ,因素的排列是有讲究的。

) 。

3.小结华罗庚教授的优选法是用来解决单因素问题 ,而正交最优化设计是用来解决多因素、多水平问题的好方法。

20 世纪 60 年代初 ,正交试验设计从日本传入中国 ,20 世纪 80 年代初 ,3 次设计由田口玄一创造并传来中国 ,中国统计工作者在应用中 ,开发研制了许多适合中国国情的方法 ,推广项目达数万项 ,经济效益累计达十几亿元以上 ,而且节省了大量的人力、物力。

近年来 ,新技术、新材料、新工艺等大量新生事物的出现 ,为各行各业带来了新的机遇。