− ϕ + β
)
P
R sin cos
) cos
− ϕ
)
θ
③
分子、分母同乘
P
cos
=
(β
− ϕ
)
2
，并②代入③得：
⋅ λ
1 γ H 2
④
λ =
1 tg β − tg α
⋅
tg β − tg α 1 + tg β (tg ϕ − tg θ ) + tg ϕ tg θ
注：若 由
β 未知，可以求其极大值，即：
dP d β = 0
推出：
tg β = tg ϕ +
(1 + tg
ϕ )(tg ϕ − tg α tg ϕ − tg θ
2
)
2、左侧岩柱侧面 在A0B0面上，同理可以求出： P0、 λ 0 、tan
β
0
2、洞顶岩柱自重
W = γ 2a h + h 2
o
= γ a (h + h
o
)
3、洞顶支护上的总荷载 ④式代入
ξ −1
γ 0r r − 1 + [1 − ( a ) ξ ξ − 2 R p
−2
]
（7-57） 57）
（6）卡柯公式的的缺陷 ①弹塑区脱离不符合实际； ② P ↑→ R ↓; 而R ↑→ P ↑ 矛盾 a P P P 注 卡柯公式中的塑性区的半径，可以 利用弹-塑分析得到的公式算出，也可 以通过测试求出，例如声波测试。
γH
2
2
代入①式得： ①式得：
R =
1 tg β − tg α
②
-抗滑角
(β − ϕ )
β -抗滑角
-有效致滑角
地面 坡角 滑动 岩柱
滑动面 倾角
有效致 滑角
(2)滑动面上的正压力P 在力三角形中，由正弦定律得：
P / cos θ sin (β − ϕ
→ =
)
=
sin
(90
(β (θ
R − θ − β + ϕ
o
−
ϕ
tg ϕ 2
根据假设求出洞帮压力集度：
e 1 = qtg
2
45
0
−
ϕ
2 −
e 2 = (q + rh )tg 2 45
0
ϕ
2
q
e1
e1
洞室 断面 衬砌 受力 图
e
2
e
2
3、适用 条件
H <
a1 K
dq dH
= 0 → H
Q
Q = W − (P + PO )tg θ
= W γ tg θ 1 − 2 ⋅ H
2
λ + H
W
2 o
λ

4、支护体顶板的荷载集度 、
q
i
γ tg θ = γ h i 1 − 2
⋅
H
2
λ + H
W
2 o
λ
o

⑤
5、支护体上的水平侧压力
e1 = γ h λ e 2 = γ (h + H
1
)λ
e 10 = γ h o λ o e 20 = γ (h o + H
1
)λ o
6、支护结构受力图 e10 Pi e1
e20
e2
• 注：此公式适用于暗挖、明挖，仅考虑自重 即： q i = γ h。 i • 岩柱两侧的摩擦角经验值：
岩石： θ = (0.7 ~ 0.8) ϕ 土体： θ = (0.3 ~ 0.5) ϕ 淤泥、流砂等松软土：
四、补充内容
立井地压(秦氏 计算公式 立井地压 秦氏)计算公式 秦氏
卡柯公式简化计算
斜巷地压计算图
返回
λ -原岩应力侧压力系数 洞室两邦的压力:
ϕ o ϕ 2 o e1 = PV tg 45 − , e 2 = (PV + γ h )tg 45 − 2 2
2
（3）适用条件：H<50m。
a 1γ − c ， tan ϕ 当 H > 50 时，指数项的值约为 当 H → α 时， p r = 0 .1 %
（三）浅埋山波处洞室围岩压力的计算 • 特点 围岩压力将产生偏压力 • 原理 围岩压力=岩柱自重-岩柱侧面的摩擦力 1、右侧岩柱侧面 γ R = H AD ⋅ 1 （1）滑动体ABC的重量 ）滑动体ABC的重量 2 ① 而
AD = CD tg β = CE tg α
H = CD − CE = AD(tgβ − tgα )
45
o
−
ϕ
其物理意义：
τ c f = = + tan ϕ σ σ
f = Rc 10
更简便的经验公式：
--Rc/MPa
（4）自然平衡拱的洞顶岩体只能承受压应力， 不能承受拉应力。
（二）计算公式
1、自然平衡拱的形状 先假设拱为二次曲 线，拱上任一点M弯 矩为0：
Qx 2 Q 2 Ty − =0→ y= x 2 2T
微元素
γl
滑动岩柱
l dl
dσ n
dT
σ1
45o − ϕ
45o + ϕ
2
2
σ3
图7-15 考虑摩擦力的计算简图
2、洞室顶压力的计算
d 微元素上的侧压力： σ
n
ϕ = rl tan 2 45 o − 2
2
式中： rl -垂直应力；
2
tan
45
o
−
ϕ
2
-侧应力系数
r
(σ
r
+ dσ
θ
r
− 2σ
sin
dθ dr + γ 2
)(r
+ dr
)d θ
o
− σ
r
rd θ = 0
rd θ dr
图7-20 松动压力计算简图
将
sin
dθ dθ ≈ 2 2
代入上式整理得：
r
σ
θ
−σ
dσ = r dr
r
+ γ r
（7-55） 55） 56） − 1 ) （7-56）
（2）塑性区内服从库仑准则
b = a f
1
y
a f
1
为拱的矢高，
（自然平衡拱的最大高度）
1
自然拱的最大跨度：a
= a + htg 45
o
−
ϕ
2
围岩压力（自然冒落拱内岩体的重量） 2、围岩压力（自然冒落拱内岩体的重量）计算 （1）顶压（集度）：q = rb = ra --取最大值， f 拱形简化为矩形。 ϕ （2）侧压：e = rbtg 45 − ϕ e = r (b + h )tg 45 − 2 2 3、适用条件 （1）埋深大于3倍的自然拱高。
= (σ （3）解微分方程
σθ −σ
r
r
+ ctg ϕ
)(ξ
（7-56）代入（7-55）并解微方程（一阶方程） 并整理得： σ = γ r + Ar − ctg ϕ ξ = 1 + sin ϕ
0 rp
ξ − 2
ξ −1
1 − sin ϕ
（4）由边界条件确定系数A 由边界条件确定系数A r = RP , σ rp = 0 ⇒ A =
max
=
a1 K
ϕ < 30 o
(保证 Q - F > 0 )
• （二）泰沙基的围岩压力计算方法
• 由单元体的平衡条件推出围岩压力 • 1、基本假设 • （1）认为岩体是松散体，但存在一定的粘厚 力，且服从库仑准则： τ = c + σ n tg ϕ • （2）围岩的滑移模式和外力情况如图所示 2、围岩压力计算 微元体的平衡条件：
第六节 松散岩体的围岩压力计算
• 浅埋：传递应力，岩柱重量计算法。 • 深埋：自然冒落拱内岩体的自重或裂性围内松 动岩体的压力。 浅埋洞室围岩松动压力计算(2种方法) 一、浅埋洞室围岩松动压力计算 （一）岩柱法 1、基本假设 （1）C=0 (2)围岩压力=岩柱的自重-柱侧面摩擦力 （3）破坏模式与受力状态如下
45
o
−
ϕ
tan ϕ 2
tan ϕ 2
洞顶岩体自重： Q = 2a1 rH ⋅ 1
ϕ a 1 = a + ht g 45 o − 2
根据假设求出洞顶压力集度：
q = Q −F = rH (1 − HK )2 a 1 2 a1
2
式中：
K
= tg
45
(σ v + d σ v )2 a1 − 2 a σ v + 2τ s dz
边界条件：
z = 0, σ
v
− 2 a1 rdz = 0
= q
图7-16 垂直地层压力计算图
解该微分方程，并令见=H得洞顶压力：
a 1γ − c pv = λ tan ϕ λ tan ϕ λ tan ϕ H ) + q exp( − H) 1 − exp( − a1 a1
1 1

2
o
2
o
1
2
（2）
f ≤ 4
4、支护结构上的受力图 、 见图7-18
三、塑性松动压力的计算
弹-塑性分析得到塑性区，把塑性区内的岩 体重量作为围岩压力。 基本假设（Caquo卡柯 卡柯） （一）基本假设（Caquo卡柯）公式假设 （1）塑性区与弹性区脱离，围岩压力为塑性区 内岩体的自重。 （2）塑性区的应力服从莫尔—库仑准则。 （二）塑性松动压力的计算 （1）在最不利的位置，拱顶取一单元作平衡分析： ∑F =0 得